Uma partícula se desloca segundo a função x(t)=8 t^2-t^4 metros.
Calcule a velocidade máxima (positiva) que a partícula alcança

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de movimento de uma partícula. A partícula se desloca segundo a função x(t) = 8 t^2 - t^4 metros. Nosso objetivo aqui é calcular qual é a velocidade máxima positiva que essa partícula consegue alcançar. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade v(t). A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t) = 8 t^2 - t^4:
v(t) = dxdt = ddt(8 t^2 - t^4) = 16 t - 4 t^3

Passo 3

Agora que temos a função velocidade v(t) = 16 t - 4 t^3, queremos encontrar onde essa função atinge seu valor máximo positivo. Para isso, vamos derivar a função velocidade para encontrar a aceleração a(t):
a(t) = dvdt = ddt(16 t - 4 t^3) = 16 - 12 t^2

Passo 4

Para encontrar os pontos onde a velocidade pode ser máxima, igualamos a aceleração a zero:
16 - 12 t^2 = 0 12 t^2 = 16 t^2 = 1612 = 43 t = raiz43 = 2raiz3

Passo 5

Agora, substituímos t = 2raiz3 na função velocidade para encontrar o valor máximo:
v(2raiz3) = 16 (2raiz3) - 4 (2raiz3)^3 = 32raiz3 - 4 (83raiz3) = 32raiz3 - 323raiz3 = 96 - 323raiz3 = 643raiz3

Passo 6

Podemos racionalizar o denominador para deixar a expressão mais bonita:
643raiz3 times raiz3raiz3 = 64raiz39

Resposta

A velocidade máxima positiva que a partícula alcança é 64 raiz39 metros por segundo.

Exercícios relacionados