Um carro para em um semáforo. A seguir, ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância desde o sinal é dada por x(t)=b t^2-c t^3, onde b=2,40 m / s^2 e c=0,12 m / s^3. (a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo t=0 até t=10 s. (b) Calcule a velocidade instantânea do carro para t=0, t=5 s e t=10 s. © Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um carro que para em um semáforo e depois segue numa trajetória retilínea. A posição do carro em relação ao sinal é dada por , onde e . O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática, especificamente noções de velocidade média e instantânea, além de entender quando o carro está em repouso. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Calcular a velocidade média do carro no intervalo de vm = De até x(0) = 2,40 times 0^2 - 0,12 times 0^3 = 0 , m .
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média ( x(10) = 2,40 times 10^2 - 0,12 times 10^3 = 2,40 times 100 - 0,12 times 1000 = 240 - 120 = 120 , m ) é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
vm = 120 , m - 0 , m10 , s - 0 , s = 120 , m10 , s = 12 , m/s
Aqui, e .
Vamos calcular e :
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:

Passo 3

Parte (b): Calcular a velocidade instantânea do carro para v(t) = dxdt , dxdt = v(t) = 2 times 2,40 , t^2-1 - 3 times 0,12 , t^3-1 = 4,80 t - 0,36 t^2 e v(0) = 4,80 times 0 - 0,36 times 0^2 = 0 , m/s .
A velocidade instantânea ( v(5) = 4,80 times 5 - 0,36 times 5^2 = 24 - 0,36 times 25 = 24 - 9 = 15 , m/s ) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(10) = 4,80 times 10 - 0,36 times 10^2 = 48 - 0,36 times 100 = 48 - 36 = 12 , m/s
Vamos derivar :
Agora, vamos calcular para cada instante solicitado:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Parte ©: Determinar quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso.
O carro está em repouso quando sua velocidade instantânea é zero, ou seja, quando v(t) = 4,80 t - 0,36 t^2 = t (4,80 - 0,36 t) = 0 . Já derivamos t (4,80 - 0,36 t) = 0 :
0,36 t = 4,80 Rightarrow t = 4,800,36 = 48036 = 403 approx 13,33 , s
Resolvendo para :
Isso nos dá duas soluções:
  1. : que é o instante inicial, j�� que o carro parte do repouso.
  2. :
Portanto, o carro retorna ao repouso aproximadamente 13,33 segundos após partir.

Resposta

(a) A velocidade média do carro entre e é 12 m/s.
(b) As velocidades instantâneas são:
  • Para : 0 m/s
  • Para : 15 m/s
  • Para : 12 m/s
© O carro retorna ao repouso aproximadamente 13,33 segundos após partir.

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