Um carro para em um semáforo. A seguir, ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância desde o sinal é dada por
, onde
e
. (a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo
até
. (b) Calcule a velocidade instantânea do carro para
e
. © Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um carro que para em um semáforo e depois segue numa trajetória retilínea. A posição do carro em relação ao sinal é dada por
, onde
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática, especificamente noções de velocidade média e instantânea, além de entender quando o carro está em repouso. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Calcular a velocidade média do carro no intervalo de
até
.
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média (
) é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
Aqui,
e
.
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
Passo 3
Parte (b): Calcular a velocidade instantânea do carro para
,
e
.
A velocidade instantânea (
) é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar
:
Agora, vamos calcular
para cada instante solicitado:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Parte ©: Determinar quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso.
O carro está em repouso quando sua velocidade instantânea é zero, ou seja, quando
. Já derivamos
:
Resolvendo para
:
Isso nos dá duas soluções:
-
: que é o instante inicial, j�� que o carro parte do repouso. -
:
Portanto, o carro retorna ao repouso aproximadamente 13,33 segundos após partir.
Resposta
(a) A velocidade média do carro entre
e
é 12 m/s.
(b) As velocidades instantâneas são:
- Para
: 0 m/s - Para
: 15 m/s - Para
: 12 m/s
© O carro retorna ao repouso aproximadamente 13,33 segundos após partir.