Uma granada inicialmente em repouso explode em apenas dois fragmentos A e B, cujas massas são e e cujas velocidades são e . Sendo a soma das energias cinéticas de e , mostre que as velocidades desses fragmentos são dadas por:

Passo 1

Então, a gente tem uma granada que estava parada e explode, se dividindo em dois pedaços: o fragmento A com massa e velocidade , e o fragmento B com massa e velocidade . A energia liberada nessa explosão é , que é a soma das energias cinéticas dos dois fragmentos. Vamos usar conceitos de conservação do momento e energia cinética para descobrir as fórmulas das velocidades e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei da Conservação do Momento. Antes da explosão, a granada estava parada, então o momento total inicial era zero. Após a explosão, o momento total também deve continuar sendo zero. Isso nos dá a seguinte equação:
Isso significa que os momentos dos fragmentos A e B têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre Energia Cinética. A energia cinética de cada fragmento é dada por:
A energia total liberada na explosão é a soma dessas energias:
Isso nos dá uma segunda equação para trabalhar.

Passo 4

Da conservação do momento, podemos expressar uma velocidade em função da outra. Vamos isolar na primeira equação:
O sinal negativo indica que as velocidades são em direções opostas, o que faz sentido já que o momento total deve ser zero.

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação da energia total:
Simplificando o segundo termo (o quadrado elimina o sinal negativo):
Fatorando :

Passo 6

Para encontrar , vamos isolar na equação acima:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
De maneira similar, usando e considerando apenas o módulo da velocidade, temos:

Resposta

As velocidades dos fragmentos são:

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