Uma granada inicialmente em repouso explode em apenas dois fragmentos A e B, cujas massas são e e cujas velocidades são e . Sendo a soma das energias cinéticas de e , mostre que as velocidades desses fragmentos são dadas por:
Passo 1
Então, a gente tem uma granada que estava parada e explode, se dividindo em dois pedaços: o fragmento A com massa mA e velocidade vA, e o fragmento B com massa mB e velocidade vB. A energia liberada nessa explosão é E, que é a soma das energias cinéticas dos dois fragmentos. Vamos usar conceitos de conservação do momento e energia cinética para descobrir as fórmulas das velocidades vA e vB.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei da Conservação do Momento. Antes da explosão, a granada estava parada, então o momento total inicial era zero. Após a explosão, o momento total também deve continuar sendo zero. Isso nos dá a seguinte equação:
mA vA + mB vB = 0
Isso significa que os momentos dos fragmentos A e B têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre Energia Cinética. A energia cinética de cada fragmento é dada por:
KA = 12 mA vA^2 e KB = 12 mB vB^2
A energia total liberada na explosão é a soma dessas energias:
E = KA + KB = 12 mA vA^2 + 12 mB vB^2
Isso nos dá uma segunda equação para trabalhar.
Passo 4
Da conservação do momento, podemos expressar uma velocidade em função da outra. Vamos isolar vB na primeira equação:
mA vA = -mB vB Rightarrow vB = -mAmB vA
O sinal negativo indica que as velocidades são em direções opostas, o que faz sentido já que o momento total deve ser zero.
Passo 5
Agora, vamos substituir vB na equação da energia total:
E = 12 mA vA^2 + 12 mB (-mAmB vA)^2
Simplificando o segundo termo (o quadrado elimina o sinal negativo):
E = 12 mA vA^2 + 12 mB (mA^2mB^2 vA^2) = 12 mA vA^2 + 12 mA^2mB vA^2
Fatorando vA^2:
E = 12 vA^2 ( mA + mA^2mB ) = 12 vA^2 mA (1 + mAmB)
Passo 6
Para encontrar vA, vamos isolar vA^2 na equação acima:
vA^2 = 2EmA (1 + mAmB)
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
vA = raiz 2EmA (1 + mAmB)
De maneira similar, usando vB = -mAmB vA e considerando apenas o módulo da velocidade, temos: