Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por . . (a) Quaisquer que sejam os vetores e , prove que . (b) Calcule para os três vetores seguintes: com módulo e ângulo (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo para o eixo ), com módulo e ângulo e com módulo e orientado ao longo do eixo . Os vetores e estão sobre o plano .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que trabalhar com vetores e operações entre eles, especificamente o produto vetorial () e o produto escalar (). A parte (a) quer que a gente prove uma igualdade envolvendo essas operações para quaisquer vetores , e . Já a parte (b) pede para calcular uma expressão específica usando vetores com valores e ângulos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto vetorial e produto escalar, além de como calcular cada um deles.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e , denotado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por , onde é o ângulo entre e .
Já o produto escalar entre dois vetores, , é um número (ou escalar) obtido multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles: .
Passo 3
Para a parte (a), queremos provar que . Essa igualdade mostra que o produto escalar com o produto vetorial é comutativo em certa condição, conhecida como ciclicidade do produto misto.
Vamos usar a definição do produto misto: representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Esse volume é o mesmo se mudarmos a ordem dos vetores de forma cíclica, ou seja, também representa o mesmo volume.
Passo 4
Para formalizar a prova, vamos expandir ambos os lados usando componentes. Suponha que:
Primeiro, calculamos :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Fazendo o mesmo para :
Observando as duas expressões, vemos que elas são iguais, o que prova a igualdade.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular com os vetores dados:
: módulo , ângulo no plano .
: módulo , ângulo no plano .
: módulo , orientado ao longo do eixo .
Primeiro, vamos expressar os vetores e em componentes cartesianas.
Passo 6
Para vetor :
Substituindo os valores:
Para vetor :
Substituindo os valores:
E para vetor , já está ao longo do eixo :
Passo 7
Vamos calcular :
Sabendo que , simplifica para:
Agora, vamos calcular :
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos , , e :
Agora, calcule :
Então,
Multiplicando por :
Resposta
a) A igualdade foi comprovada mostrando que ambos representam o mesmo volume do paralelepípedo formado pelos vetores.