Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por
.
. (a) Quaisquer que sejam os vetores
e
, prove que
. (b) Calcule
para os três vetores seguintes:
com módulo
e ângulo
(medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo
para o eixo
),
com módulo
e ângulo
e
com módulo
e orientado ao longo do eixo
. Os vetores
e
estão sobre o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que trabalhar com vetores e operações entre eles, especificamente o produto vetorial (
) e o produto escalar (
). A parte (a) quer que a gente prove uma igualdade envolvendo essas operações para quaisquer vetores
,
e
. Já a parte (b) pede para calcular uma expressão específica usando vetores com valores e ângulos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto vetorial e produto escalar, além de como calcular cada um deles.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por
, onde
é o ângulo entre
e
.
Já o produto escalar entre dois vetores,
, é um número (ou escalar) obtido multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles:
.
Passo 3
Para a parte (a), queremos provar que
. Essa igualdade mostra que o produto escalar com o produto vetorial é comutativo em certa condição, conhecida como ciclicidade do produto misto.
Vamos usar a definição do produto misto:
representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Esse volume é o mesmo se mudarmos a ordem dos vetores de forma cíclica, ou seja,
também representa o mesmo volume.
Passo 4
Para formalizar a prova, vamos expandir ambos os lados usando componentes. Suponha que:
Primeiro, calculamos
:
Agora, fazemos o produto escalar com
:
Fazendo o mesmo para
:
Observando as duas expressões, vemos que elas são iguais, o que prova a igualdade.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular
com os vetores dados:
-
: módulo , ângulo no plano . -
: módulo , ângulo no plano . -
: módulo , orientado ao longo do eixo .
Primeiro, vamos expressar os vetores
e
em componentes cartesianas.
Passo 6
Para vetor
:
Substituindo os valores:
Para vetor
:
Substituindo os valores:
E para vetor
, já está ao longo do eixo
:
Passo 7
Vamos calcular
:
Sabendo que
, simplifica para:
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos
,
,
e
:
Agora, calcule
:
Então,
Multiplicando por
:
Resposta
a) A igualdade
foi comprovada mostrando que ambos representam o mesmo volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
b) O valor de
é aproximadamente
unidades.