Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A times B). C. (a) Quaisquer que sejam os vetores A, B e C, prove que A cdot(B times C)=(A times B) cdot C. (b) Calcule (A times B) cdot C para os três vetores seguintes: A com módulo A=5,0 e ângulo thetaA=26,0^circ (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +x para o eixo +y ), B com módulo B=4,0 e ângulo thetaB=63,0^circ e C com módulo C=6,0 e orientado ao longo do eixo +z. Os vetores A e B estão sobre o plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que trabalhar com vetores e operações entre eles, especificamente o produto vetorial ( times) e o produto escalar ( cdot). A parte (a) quer que a gente prove uma igualdade envolvendo essas operações para quaisquer vetores A, B e C. Já a parte (b) pede para calcular uma expressão específica usando vetores com valores e ângulos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto vetorial e produto escalar, além de como calcular cada um deles.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores A e B, denotado por A times B, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por |A||B|sin(theta), onde theta é o ângulo entre A e B.
Já o produto escalar entre dois vetores, A cdot B, é um número (ou escalar) obtido multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles: |A||B|cos(theta).

Passo 3

Para a parte (a), queremos provar que A cdot (B times C) = (A times B) cdot C. Essa igualdade mostra que o produto escalar com o produto vetorial é comutativo em certa condição, conhecida como ciclicidade do produto misto.
Vamos usar a definição do produto misto: A cdot (B times C) representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Esse volume é o mesmo se mudarmos a ordem dos vetores de forma cíclica, ou seja, (A times B) cdot C também representa o mesmo volume.

Passo 4

Para formalizar a prova, vamos expandir ambos os lados usando componentes. Suponha que:
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
C = (Cx, Cy, Cz)
Primeiro, calculamos B times C:
B times C = (By Cz - Bz Cy, Bz Cx - Bx Cz, Bx Cy - By Cx)
Agora, fazemos o produto escalar com A:
A cdot (B times C) = Ax (By Cz - Bz Cy) + Ay (Bz Cx - Bx Cz) + Az (Bx Cy - By Cx)
Fazendo o mesmo para (A times B) cdot C:
A times B = (Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx)
A times B cdot C = (Ay Bz - Az By) Cx + (Az Bx - Ax Bz) Cy + (Ax By - Ay Bx) Cz
Observando as duas expressões, vemos que elas são iguais, o que prova a igualdade.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular (A times B) cdot C com os vetores dados:
  • A: módulo A = 5,0, ângulo thetaA = 26,0^circ no plano xy.
  • B: módulo B = 4,0, ângulo thetaB = 63,0^circ no plano xy.
  • C: módulo C = 6,0, orientado ao longo do eixo +z.
Primeiro, vamos expressar os vetores A e B em componentes cartesianas.

Passo 6

Para vetor A:
A = (Ax, Ay, Az) = (A cos thetaA, A sin thetaA, 0)
Substituindo os valores:
Ax = 5,0 cos 26,0^circ
Ay = 5,0 sin 26,0^circ
Az = 0
Para vetor B:
B = (Bx, By, Bz) = (B cos thetaB, B sin thetaB, 0)
Substituindo os valores:
Bx = 4,0 cos 63,0^circ
By = 4,0 sin 63,0^circ
Bz = 0
E para vetor C, já está ao longo do eixo z:
C = (0, 0, 6,0)

Passo 7

Vamos calcular A times B:
A times B = (Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx)
Sabendo que Az = Bz = 0, simplifica para:
A times B = (0 - 0, 0 - 0, Ax By - Ay Bx) = (0, 0, Ax By - Ay Bx)
Agora, vamos calcular (A times B) cdot C:
(A times B) cdot C = (0)(0) + (0)(0) + (Ax By - Ay Bx)(6,0) = 6,0 (Ax By - Ay Bx)

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos Ax, Ay, Bx e By:
Ax = 5,0 cos 26,0^circ approx 5,0 times 0,8988 approx 4,494
Ay = 5,0 sin 26,0^circ approx 5,0 times 0,4384 approx 2,192
Bx = 4,0 cos 63,0^circ approx 4,0 times 0,4540 approx 1,816
By = 4,0 sin 63,0^circ approx 4,0 times 0,8910 approx 3,564
Agora, calcule Ax By - Ay Bx:
Ax By = 4,494 times 3,564 approx 16,000
Ay Bx = 2,192 times 1,816 approx 3,980
Então,
Ax By - Ay Bx approx 16,000 - 3,980 = 12,020
Multiplicando por 6,0:
6,0 times 12,020 approx 72,120

Resposta

a) A igualdade A cdot (B times C) = (A times B) cdot C foi comprovada mostrando que ambos representam o mesmo volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
b) O valor de (A times B) cdot C é aproximadamente 72,120 unidades.

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