Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por . . (a) Quaisquer que sejam os vetores e , prove que . (b) Calcule para os três vetores seguintes: com módulo e ângulo (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo para o eixo ), com módulo e ângulo e com módulo e orientado ao longo do eixo . Os vetores e estão sobre o plano .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que trabalhar com vetores e operações entre eles, especificamente o produto vetorial ( ) e o produto escalar ( ). A parte (a) quer que a gente prove uma igualdade envolvendo essas operações para quaisquer vetores , e . Já a parte (b) pede para calcular uma expressão específica usando vetores com valores e ângulos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto vetorial e produto escalar, além de como calcular cada um deles.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e , denotado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por , onde é o ângulo entre e .
Já o produto escalar entre dois vetores, , é um número (ou escalar) obtido multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles: .

Passo 3

Para a parte (a), queremos provar que . Essa igualdade mostra que o produto escalar com o produto vetorial é comutativo em certa condição, conhecida como ciclicidade do produto misto.
Vamos usar a definição do produto misto: representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Esse volume é o mesmo se mudarmos a ordem dos vetores de forma cíclica, ou seja, também representa o mesmo volume.

Passo 4

Para formalizar a prova, vamos expandir ambos os lados usando componentes. Suponha que:
Primeiro, calculamos :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Fazendo o mesmo para :
Observando as duas expressões, vemos que elas são iguais, o que prova a igualdade.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular com os vetores dados:
  • : módulo , ângulo no plano .
  • : módulo , ângulo no plano .
  • : módulo , orientado ao longo do eixo .
Primeiro, vamos expressar os vetores e em componentes cartesianas.

Passo 6

Para vetor :
Substituindo os valores:
Para vetor :
Substituindo os valores:
E para vetor , já está ao longo do eixo :

Passo 7

Vamos calcular :
Sabendo que , simplifica para:
Agora, vamos calcular :

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos , , e :
Agora, calcule :
Então,
Multiplicando por :

Resposta

a) A igualdade foi comprovada mostrando que ambos representam o mesmo volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
b) O valor de é aproximadamente unidades.

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Um carro para em um semáforo. A seguir, ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância desde o sinal é dada por , onde e . (a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo até . (b) Calcule a velocidade instantânea do carro para e . © Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?
Uma granada inicialmente em repouso explode em apenas dois fragmentos A e B, cujas massas são e e cujas velocidades são e . Sendo a soma das energias cinéticas de e , mostre que as velocidades desses fragmentos são dadas por:
Assinale a(s) sentença(s) VERDADEIRA(S):
Escolha uma ou mais:
Após colisões perfeitamente inelásticas a energia cinética do sistema em relação ao centro de massa é nula.
Em toda colisão, o momento linear de cada partícula que constitui o sistema, se mantém constante.
Na colisão de duas partículas as forças impulsivas em cada uma delas são iguais.
A energia mecânica do sistema é conservada em colisões elásticas.
Considere o vetor: . Onde e são vetores unitários nas direções dos eixos e y respectivamente.
(b) (5 Pontos): Encontre o modulo do vetor e expresse graficamente na forma de um vetor com suas compontes nos eixos e .