Um carrossel de 5 m de raio e momento de inércia de 2500 kg cdot m^2, está girando inicialmente a 2 rpm quando o motor é desligado. Dez crianças, com uma massa média de 30 kg cada uma, estavam na borda do carrossel. Quando o motor é desligado (sem frenagem), elas imediatamente se deslocam em direção ao centro do carrossel, amontoando-se a 1 m do eixo de rotação. a) Determine a nova velocidade angular do carrossel, desprezando qualquer tipo de atrito. b) Suponha que, quando o carrossel atinge a velocidade encontrada no item

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carrossel com raio de 5 metros e momento de inércia de . Inicialmente, ele está girando a 2 rotações por minuto (rpm). Quando o motor é desligado, dez crianças de 30 kg cada estão na borda do carrossel e, sem atrito, elas se movem para 1 metro do centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular do carrossel após as crianças se moverem. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e conservar o momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque é mais fácil trabalhar com essas unidades nos cálculos.
Sabemos que:
1 , rpm = 2pi , rad60 , s
Então,
omegainicial = 2 , rpm times 2pi60 = 4pi60 approx 0,209 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia inicial das crianças quando elas estão na borda do carrossel (a 5 metros do centro). O momento de inércia ( I = m times r^2 ) para um ponto de massa é dado por:
Icriança = 30 , kg times (5 , m)^2 = 750 , kg cdot m^2
Onde Icrianças inicial = 10 times 750 = 7500 , kg cdot m^2 é a massa e é a distância do eixo de rotação.
Para uma criança:
ç
Como são 10 crianças:
ç

Passo 4

O momento de inércia total inicial do sistema (carrossel + crianças) é:
Itotal inicial = Icarrossel + Icrianças inicial = 2500 + 7500 = 10000 , kg cdot m^2 ç

Passo 5

Depois que as crianças se movem para 1 metro do centro, vamos recalcular o momento de inércia delas.
Para uma criança na nova posição:
Icriança final = 30 , kg times (1 , m)^2 = 30 , kg cdot m^2 ç
Total para 10 crianças:
Icrianças final = 10 times 30 = 300 , kg cdot m^2 ç

Passo 6

O momento de inércia total final do sistema é:
Itotal final = Icarrossel + Icrianças final = 2500 + 300 = 2800 , kg cdot m^2 ç

Passo 7

Como não há atrito, o momento angular total do sistema é conservado. Isso significa que:
Itotal inicial times omegainicial = Itotal final times omegafinal
Queremos encontrar omegafinal = Itotal inicialItotal final times omegainicial = 100002800 times 0,209 approx 0,749 , rad/s :

Passo 8

Para deixar a resposta mais intuitiva, vamos converter a velocidade angular final de rad/s de volta para rpm:
omegafinal = 0,749 , rad/s times 602pi approx 7,16 , rpm

Resposta

A nova velocidade angular do carrossel depois que as crianças se movem para 1 metro do centro é aproximadamente 7,16 rpm.

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