Um carrossel de 5 m de raio e momento de inércia de
, está girando inicialmente a 2 rpm quando o motor é desligado. Dez crianças, com uma massa média de 30 kg cada uma, estavam na borda do carrossel. Quando o motor é desligado (sem frenagem), elas imediatamente se deslocam em direção ao centro do carrossel, amontoando-se a 1 m do eixo de rotação. a) Determine a nova velocidade angular do carrossel, desprezando qualquer tipo de atrito. b) Suponha que, quando o carrossel atinge a velocidade encontrada no item
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carrossel com raio de 5 metros e momento de inércia de
. Inicialmente, ele está girando a 2 rotações por minuto (rpm). Quando o motor é desligado, dez crianças de 30 kg cada estão na borda do carrossel e, sem atrito, elas se movem para 1 metro do centro. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular do carrossel após as crianças se moverem. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e conservar o momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade angular inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque é mais fácil trabalhar com essas unidades nos cálculos.
Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia inicial das crianças quando elas estão na borda do carrossel (a 5 metros do centro). O momento de inércia (
) para um ponto de massa é dado por:
Onde
é a massa e
é a distância do eixo de rotação.
Para uma criança:
Como são 10 crianças:
Passo 4
O momento de inércia total inicial do sistema (carrossel + crianças) é:
Passo 5
Depois que as crianças se movem para 1 metro do centro, vamos recalcular o momento de inércia delas.
Para uma criança na nova posição:
Total para 10 crianças:
Passo 6
O momento de inércia total final do sistema é:
Passo 7
Como não há atrito, o momento angular total do sistema é conservado. Isso significa que:
Queremos encontrar
:
Passo 8
Para deixar a resposta mais intuitiva, vamos converter a velocidade angular final de rad/s de volta para rpm:
Resposta
A nova velocidade angular do carrossel depois que as crianças se movem para 1 metro do centro é aproximadamente 7,16 rpm.