Momento dipolar magnético de uma agulha de bússola. Uma agulha de bússola feita de ferro puro (cuja massa específica é 7900 kg / m^3 ) tem 3,0 cm de comprimento, 1,0 mm de largura e 0,50 mm de espessura.
O módulo do momento dipolar magnético de um átomo de ferro é muFe=2,1 times 10-23 J / T.
Se a magnetização da agulha equivale ao alinhamento de 10 % dos átomos, qual é o módulo do momento dipolar magnético da agulha?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma agulha de bússola feita de ferro com dimensões específicas e uma certa massa específica. Sabemos que cada átomo de ferro possui um momento dipolar magnético de muFe = 2,1 times 10^-23 , J/T. Além disso, apenas 10% dos átomos estão alinhados, contribuindo para a magnetização da agulha. Nosso objetivo é encontrar o módulo do momento dipolar magnético total da agulha. Para isso, vamos precisar calcular o número total de átomos na agulha e, em seguida, determinar quantos deles estão alinhados para contribuir com o momento dipolar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da agulha de bússola. As dimensões dadas são:
  • Comprimento L = 3,0 , cm = 3,0 times 10^-2 , m
  • Largura w = 1,0 , mm = 1,0 times 10^-3 , m
  • Espessura e = 0,50 , mm = 0,50 times 10^-3 , m
O volume V é dado por:
V = L times w times e = 3,0 times 10^-2 times 1,0 times 10^-3 times 0,50 times 10^-3 = 1,5 times 10^-8 , m^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da agulha utilizando a massa específica do ferro. A massa específica rho é dada por:
rho = 7900 , kg/m^3
A massa m da agulha é:
m = rho times V = 7900 times 1,5 times 10^-8 = 1,185 times 10^-4 , kg

Passo 4

Para encontrar o número de átomos na agulha, precisamos saber a massa molar do ferro. A massa molar do ferro MFe é aproximadamente 55,85 , g/mol = 0,05585 , kg/mol. A constante de Avogadro NA é 6,022 times 10^23 , átomos/molá. O número de mols n de ferro na agulha é:
n = mMFe = 1,185 times 10^-40,05585 approx 2,124 times 10^-3 , mol
O número total de átomos Ntotal é:
Ntotal = n times NA = 2,124 times 10^-3 times 6,022 times 10^23 approx 1,280 times 10^21 , átomos á

Passo 5

Sabemos que apenas 10% dos átomos estão alinhados, contribuindo para a magnetização da agulha. Portanto, o número de átomos alinhados Nalinhados é:
Nalinhados = 0,10 times Ntotal = 0,10 times 1,280 times 10^21 = 1,280 times 10^20 , átomos á

Passo 6

Agora, podemos calcular o momento dipolar magnético total mutotal da agulha multiplicando o número de átomos alinhados pelo momento dipolar de cada átomo:
mutotal = Nalinhados times muFe = 1,280 times 10^20 times 2,1 times 10^-23 = 2,688 times 10^-3 , J/T

Resposta

O módulo do momento dipolar magnético da agulha de bússola é aproximadamente 2,69 times 10^-3 , J/T.

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