Uma carta é selecionada de um baralho comum, sendo anotada e reposta no baralho. Esse experimento é repetido um total de cinco vezes. Encontre a probabilidade de selecionar exatamente três cartas de paus
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade, onde uma carta é escolhida de um baralho, anotada e colocada de volta. Isso acontece 5 vezes. A pergunta é: qual a chance de, nessas 5 vezes, exatamente 3 vezes saírem cartas de paus? Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos repetições independentes de um experimento com dois resultados possíveis (no caso, sair ou não sair uma carta de paus).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual a probabilidade de sair uma carta de paus em um único sorteio. Um baralho comum tem 52 cartas, divididas em 4 naipes: copas, ouros, espadas e paus, cada um com 13 cartas. Então, a probabilidade $ p $ de sair uma carta de paus é:
Passo 3
Como estamos repetindo o experimento 5 vezes e queremos que exatamente 3 dessas vezes sejam de paus, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
Aqui:
- $ n = 5 $ (número total de sorteios)
- $ k = 3 $ (número de vezes que queremos que saia paus)
- $ p = \frac{1}{4} $ (probabilidade de sair paus em um sorteio)
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial $ C(n, k) $:
- $ p^k $:
- $ (1 - p)^{n - k} $:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Simplificando a fração:
Resposta
A probabilidade de selecionar exatamente três cartas de paus em cinco sorteios é aproximadamente 8,789%.