Uma carta é selecionada de um baralho comum, sendo anotada e reposta no baralho. Esse experimento é repetido um total de cinco vezes. Encontre a probabilidade de selecionar exatamente três cartas de paus

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade, onde uma carta é escolhida de um baralho, anotada e colocada de volta. Isso acontece 5 vezes. A pergunta é: qual a chance de, nessas 5 vezes, exatamente 3 vezes saírem cartas de paus? Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos repetições independentes de um experimento com dois resultados possíveis (no caso, sair ou não sair uma carta de paus).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual a probabilidade de sair uma carta de paus em um único sorteio. Um baralho comum tem 52 cartas, divididas em 4 naipes: copas, ouros, espadas e paus, cada um com 13 cartas. Então, a probabilidade $ p $ de sair uma carta de paus é:
p

Passo 3

Como estamos repetindo o experimento 5 vezes e queremos que exatamente 3 dessas vezes sejam de paus, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Aqui:
  • $ n = 5 $ (número total de sorteios)
  • $ k = 3 $ (número de vezes que queremos que saia paus)
  • $ p = \frac{1}{4} $ (probabilidade de sair paus em um sorteio)

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial $ C(n, k) $:
C(n, k)
  1. $ p^k $:
C(5, 3) = 5!3!(5-3)! = 5 times 42 times 1 = 10
  1. $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k

Passo 5

Agora, juntando tudo:
P(3) = 10 times 164 times 916 = 10 times 91024 = 901024
Simplificando a fração:
901024 = 45512 approx 0,08789

Resposta

A probabilidade de selecionar exatamente três cartas de paus em cinco sorteios é aproximadamente 8,789%.

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