Seja X uma v.a. com densidade
Ache o valor de
tal que
Ache o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função densidade dada por:
O objetivo é encontrar o valor de $ \alpha $ tal que a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular a função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a função densidade de probabilidade deve integrar para 1 em todo o seu domínio. Ou seja:
Vamos calcular essa integral para achar $ c $.
Passo 3
Calculando a integral:
A integral de $ x^{2} $ de -1 a 1 é:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, podemos escrever a função densidade completa:
Com essa função, vamos calcular a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) $.
Passo 5
A função de distribuição acumulada $ F(\alpha) $ é a integral da função densidade de -1 até $ \alpha $:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Calculando a integral:
Então:
Passo 7
Queremos encontrar $ \alpha $ tal que $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $:
Vamos resolver essa equação para $ \alpha $.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Então:
Resposta
O valor de $ \alpha $ que satisfaz $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $ é aproximadamente $ \alpha \approx -0.7937 $.