Seja X uma v.a. com densidade
f(x)= c x^2, & -1 <= x <= 1 0, & cc
Ache o valor de alpha tal que F(alpha)=14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função densidade dada por:
X á
O objetivo é encontrar o valor de $ \alpha $ tal que a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a função densidade de probabilidade deve integrar para 1 em todo o seu domínio. Ou seja:
c
Vamos calcular essa integral para achar $ c $.

Passo 3

Calculando a integral:
integral-1^1 c x^2 , dx = c integral-1^1 x^2 , dx
A integral de $ x^{2} $ de -1 a 1 é:
x^2
Então:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - ( -13 ) = 23

Passo 4

Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, podemos escrever a função densidade completa:
c = 32 á
Com essa função, vamos calcular a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) $.

Passo 5

A função de distribuição acumulada $ F(\alpha) $ é a integral da função densidade de -1 até $ \alpha $:
F(alpha)
Vamos calcular essa integral.

Passo 6

Calculando a integral:
F(alpha) = 32 integral-1^alpha x^2 , dx = 32 [ x^33 ]-1^alpha = 32 ( alpha^33 - (-1)^33 ) = 32 ( alpha^33 + 13 ) = 32 cdot alpha^3 + 13 = alpha^3 + 12
Então:
F(alpha) = alpha^3 + 12

Passo 7

Queremos encontrar $ \alpha $ tal que $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $:
alpha
Vamos resolver essa equação para $ \alpha $.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2:
alpha^3 + 1 = 12
Subtraindo 1 de ambos os lados:
alpha^3 = 12 - 1 = -12
Então:
alpha = raiz[3] -12 = -( 12 )^13 approx -0.7937

Resposta

O valor de $ \alpha $ que satisfaz $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $ é aproximadamente $ \alpha \approx -0.7937 $.

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