Uma v.a. X tem função de distribuição
Qual a densidade de X?
Qual a densidade de X?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a densidade da variável aleatória $ X $ a partir da função de distribuição $ F(x) $ que foi dada. Isso cai dentro do estudo de Probabilidade, mais especificamente em Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender que a densidade $ f(x) $ é basicamente a derivada da função de distribuição $ F(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição. Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Já a densidade $ f(x) $ nos diz como essa probabilidade está “distribuída” ao longo dos valores de $ x $.
Passo 3
Para encontrar a densidade $ f(x) $, precisamos derivar a função de distribuição $ F(x) $. A derivada basicamente nos mostra a taxa de variação da função $ F(x) $ em relação a $ x $.
Passo 4
Vamos olhar para a função de distribuição dada:
Vamos derivar $ F(x) $ em cada intervalo.
Passo 5
Para $ x < 0 $:
A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 6
Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 7
Para $ x > 1 $:
Mais uma vez, a derivada de uma constante é zero:
Resposta
A densidade de $ X $ é dada por: