Uma v.a. X tem função de distribuição
F(x)= 1, & x>1 x^3, & 0 <= x <= 1 0, & x<0
Qual a densidade de X?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a densidade da variável aleatória $ X $ a partir da função de distribuição $ F(x) $ que foi dada. Isso cai dentro do estudo de Probabilidade, mais especificamente em Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender que a densidade $ f(x) $ é basicamente a derivada da função de distribuição $ F(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição. Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Já a densidade $ f(x) $ nos diz como essa probabilidade está “distribuída” ao longo dos valores de $ x $.

Passo 3

Para encontrar a densidade $ f(x) $, precisamos derivar a função de distribuição $ F(x) $. A derivada basicamente nos mostra a taxa de variação da função $ F(x) $ em relação a $ x $.

Passo 4

Vamos olhar para a função de distribuição dada:
F(x)= 1, & x > 1 x^3, & 0 <= x <= 1 0, & x < 0
Vamos derivar $ F(x) $ em cada intervalo.

Passo 5

Para $ x < 0 $:
x < 0
A derivada de uma constante é zero, então:
F(x) = 0

Passo 6

Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
0 <= x <= 1
Derivando em relação a $ x $:
F(x) = x^3

Passo 7

Para $ x > 1 $:
x > 1
Mais uma vez, a derivada de uma constante é zero:
F(x) = 1

Resposta

A densidade de $ X $ é dada por:
X

Exercícios relacionados