Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem preenchidos com chips semicondutores. Um lote contém 140 cartões, e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional. Se cinco cartões são defeituosos, qual será a probabilidade de no mínimo um cartão defeituoso estar na amostra?

Passo 1

Então, bora lá! Temos um problema de probabilidade aqui envolvendo cartões de circuito integrado. Temos um lote de 140 cartões, com 5 deles defeituosos. Precisamos escolher 20 cartões para testar e descobrir qual a chance de ter pelo menos um defeituoso na nossa amostra. Vamos usar conceitos de combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras diferentes podemos escolher 20 cartões de um total de 140. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas maneiras existem de escolher 20 cartões que não são defeituosos. Sabemos que há 5 defeituosos, então há 135 que são bons. Aplicando a mesma fórmula de combinação:
C(135, 20) = 135!20!(135 - 20)!

Passo 4

A probabilidade de nenhum cartão defeituoso estar na amostra é a razão entre as combinações de escolher 20 bons cartões e o total de combinações de escolher 20 cartões:
P(nenhum defeituoso) = C(135, 20)C(140, 20)

Passo 5

Mas a gente quer a probabilidade de pelo menos um cartão ser defeituoso. Para isso, subtraímos a probabilidade de nenhum defeituoso de 1:
P(pelo menos um defeituoso) = 1 - P(nenhum defeituoso) = 1 - C(135, 20)C(140, 20)

Resposta

A probabilidade de ter pelo menos um cartão defeituoso na amostra de 20 é:
1 - dbinom13520dbinom14020
Isso dá aproximadamente 43,8% de chance.

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