Cinco moedas honestas são jogadas. Se os resultados são por hipóteses independentes, determine a função de probabilidade do número de caras obtido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos cinco moedas justas sendo jogadas, e cada lançamento é independente dos outros. Precisamos descobrir a função de probabilidade do número de caras que podem sair nesse processo. Isso envolve entender um pouco de probabilidade binomial, que é perfeita para situações com sucessos ou fracassos em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma experiência binomial. É quando temos um certo número de tentativas (n), cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa. No nosso caso, jogar uma moeda é uma tentativa, “cara” é o sucesso, e “coroa” é o fracasso.

Passo 3

Sabemos que:
  • P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k (cinco moedas)
  • (probabilidade de dar cara em uma moeda justa)
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é o número de caras que queremos calcular a probabilidade.

Passo 4

Vamos calcular a função de probabilidade para cada possível número de caras ( binom5k = 5!k!(5 - k)! ) que pode sair quando jogamos cinco moedas. Ou seja, pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial para cada :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para cada valor de P(X = 0) = binom50 (0,5)^0 (1 - 0,5)^5 = 1 times 1 times 0,03125 = 0,03125 :
  • Para P(X = 1) = binom51 (0,5)^1 (1 - 0,5)^4 = 5 times 0,5 times 0,0625 = 0,15625 :
P(X = 2) = binom52 (0,5)^2 (1 - 0,5)^3 = 10 times 0,25 times 0,125 = 0,3125
  • Para P(X = 3) = binom53 (0,5)^3 (1 - 0,5)^2 = 10 times 0,125 times 0,25 = 0,3125 :
P(X = 4) = binom54 (0,5)^4 (1 - 0,5)^1 = 5 times 0,0625 times 0,5 = 0,15625
  • Para P(X = 5) = binom55 (0,5)^5 (1 - 0,5)^0 = 1 times 0,03125 times 1 = 0,03125 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função de probabilidade do número de caras obtidas ao jogar cinco moedas justas é:
P(X = 0) &= 0,03125 P(X = 1) &= 0,15625 P(X = 2) &= 0,3125 P(X = 3) &= 0,3125 P(X = 4) &= 0,15625 P(X = 5) &= 0,03125

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