Cinco moedas honestas são jogadas. Se os resultados são por hipóteses independentes, determine a função de probabilidade do número de caras obtido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos cinco moedas justas sendo jogadas, e cada lançamento é independente dos outros. Precisamos descobrir a função de probabilidade do número de caras que podem sair nesse processo. Isso envolve entender um pouco de probabilidade binomial, que é perfeita para situações com sucessos ou fracassos em tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma experiência binomial. É quando temos um certo número de tentativas (n), cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa. No nosso caso, jogar uma moeda é uma tentativa, “cara” é o sucesso, e “coroa” é o fracasso.
Passo 3
Sabemos que:
-
(cinco moedas) -
(probabilidade de dar cara em uma moeda justa)
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é o número de caras que queremos calcular a probabilidade.
Passo 4
Vamos calcular a função de probabilidade para cada possível número de caras (
) que pode sair quando jogamos cinco moedas. Ou seja,
pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial para cada
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A função de probabilidade do número de caras obtidas ao jogar cinco moedas justas é: