Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere X= o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição. Calcule P(X=2), P(X <= 2).

Passo 1

Vamos entender o problema: uma loja tem 20 rádios, sendo 12 com duas entradas e 8 com uma entrada. Queremos selecionar 6 rádios para a prateleira e descobrir a probabilidade de exatamente 2 desses rádios terem duas entradas, e também a probabilidade de no máximo 2 terem duas entradas. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de exatamente 2 rádios com duas entradas serem escolhidos para a prateleira. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade hipergeométrica, que é adequada para situações de seleção sem reposição.
A fórmula é:
P(X = k) = dbinom12k times dbinom86 - kdbinom206
Onde:
  • é o número de maneiras de escolher rádios com duas entradas.
  • é o número de maneiras de escolher os restantes rádios com uma entrada.
  • é o número total de maneiras de escolher 6 rádios dentre os 20.

Passo 3

Para P(X = 2) = dbinom122 times dbinom84dbinom206 :
dbinom122 = 12!2! times 10! = 66
Calculando cada combinação:
dbinom84 = 8!4! times 4! = 70
dbinom206 = 20!6! times 14! = 38760
P(X = 2) = 66 times 7038760 = 462038760 approx 0,1192 ou 11,92%
Então:

Passo 4

Para P(X = 0) = dbinom120 times dbinom86dbinom206 = 1 times 2838760 approx 0,000723 ou 0,0723% , precisamos somar as probabilidades de P(X = 1) = dbinom121 times dbinom85dbinom206 = 12 times 5638760 = 67238760 approx 0,0173 ou 1,73% , P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0723% + 1,73% + 11,92% = 13,7223% e .
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Agora, somamos todas as probabilidades:

Resposta

P(X = 2) approx 11,92%
P(X <= 2) approx 13,72%

Exercícios relacionados