No exercício 7 temos que 20 peças sejam verificadas a cada hora, e que X seja o número de peças na amostra de 20 que requeiram retrabalho (refazer o trabalho). Peças são consideradas independentes com relação ao retrabalho. Se a porcentagem de conserto aumentar para 4 %, qual será a probabilidade de que na décima hora apareça a primeira amostra em que X excede 1?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que, a cada hora, são verificadas 20 peças, e cada peça tem uma chance de 4% de precisar de retrabalho. Queremos saber qual é a probabilidade de que, na décima hora, seja a primeira vez que mais de uma peça (ou seja, pelo menos duas) precise de retrabalho.
Aqui, estamos lidando com probabilidades envolvendo distribuição binomial e distribuição geométrica. Vamos precisar entender como essas distribuições funcionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como modelar o número de peças que precisam de retrabalho em cada hora. Como cada peça tem uma chance independente de 4% de precisar de retrabalho e são verificadas 20 peças por hora, podemos modelar isso com uma distribuição binomial:
X sim Binomial(n=20, p=0.04)
Aqui, representa o número de peças com retrabalho em uma amostra de 20 peças.

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a probabilidade de que, em uma hora específica, mais de uma peça precise de retrabalho. Isso significa calcular P(X > 1) = 1 - P(X <= 1) . Podemos fazer isso calculando o complementar de :
Então, precisamos calcular e e subtrair essa soma de 1.

Passo 4

Vamos calcular P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k e P(X = 0) = binom200 (0.04)^0 (0.96)^20 = 1 times 1 times 0.96^20 usando a fórmula da distribuição binomial:
0.96^20 approx 0.442
Primeiro, para P(X = 0) approx 0.442 :
P(X = 1) = binom201 (0.04)^1 (0.96)^19 = 20 times 0.04 times 0.96^19
Calculando 0.96^19 approx 0.460 :
P(X = 1) approx 20 times 0.04 times 0.460 = 0.368
Então,
Agora, para :
Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0.442 + 0.368 = 0.810 :
P(X > 1) = 1 - 0.810 = 0.190
Então,

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, nas primeiras 9 horas, nunca ocorra uma amostra com mais de uma peça precisando de retrabalho, e que na décima hora, pela primeira vez, isso aconteça.
Essa situação segue uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso P(Primeiro sucesso na k-ésima tentativa) = q^k-1 times p é , e a probabilidade de falha é .
A fórmula para a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na -ésima tentativa é:
é

Passo 7

Aplicando essa fórmula para P(Primeiro sucesso na 10ª hora) = 0.810^9 times 0.190 :
0.810^9 approx 0.167 ª
Calculando P approx 0.167 times 0.190 approx 0.032 :
Então,

Resposta

A probabilidade de que, na décima hora, apareça a primeira amostra em que mais de uma peça precisa de retrabalho é aproximadamente 3,2%.

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