No exercício 7 temos que 20 peças sejam verificadas a cada hora, e que seja o número de peças na amostra de 20 que requeiram retrabalho (refazer o trabalho). Peças são consideradas independentes com relação ao retrabalho. Se a porcentagem de conserto aumentar para , qual será a probabilidade de que na décima hora apareça a primeira amostra em que excede 1?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que, a cada hora, são verificadas 20 peças, e cada peça tem uma chance de 4% de precisar de retrabalho. Queremos saber qual é a probabilidade de que, na décima hora, seja a primeira vez que mais de uma peça (ou seja, pelo menos duas) precise de retrabalho.
Aqui, estamos lidando com probabilidades envolvendo distribuição binomial e distribuição geométrica. Vamos precisar entender como essas distribuições funcionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como modelar o número de peças que precisam de retrabalho em cada hora. Como cada peça tem uma chance independente de 4% de precisar de retrabalho e são verificadas 20 peças por hora, podemos modelar isso com uma distribuição binomial:
Aqui, representa o número de peças com retrabalho em uma amostra de 20 peças.

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a probabilidade de que, em uma hora específica, mais de uma peça precise de retrabalho. Isso significa calcular . Podemos fazer isso calculando o complementar de :
Então, precisamos calcular e e subtrair essa soma de 1.

Passo 4

Vamos calcular e usando a fórmula da distribuição binomial:
Primeiro, para :
Calculando :
Então,
Agora, para :
Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar :
Então,

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, nas primeiras 9 horas, nunca ocorra uma amostra com mais de uma peça precisando de retrabalho, e que na décima hora, pela primeira vez, isso aconteça.
Essa situação segue uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é , e a probabilidade de falha é .
A fórmula para a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na -ésima tentativa é:
é

Passo 7

Aplicando essa fórmula para :
ª
Calculando :
Então,

Resposta

A probabilidade de que, na décima hora, apareça a primeira amostra em que mais de uma peça precisa de retrabalho é aproximadamente 3,2%.

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