Sejam A1, A2, A3 eventos quaisquer no espaço amostral Omega. Mostre que P(A1 cup A2 cup A3) <= P(A1)+P(A2)+P(A3). Use os fatos de que, para B subset C, então C=B cup(C cap barB, e que P(C)=P(B)+P(C cap barB) >= P(B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que a probabilidade da união de três eventos, P(A1 cup A2 cup A3) <= P(A1) + P(A2) + P(A3) , é menor ou igual à soma das probabilidades individuais desses eventos, ou seja:
Esse tipo de problema está dentro da teoria das probabilidades, mais especificamente nas desigualdades envolvendo probabilidades de eventos. Vamos precisar entender como manipular conjuntos e usar propriedades básicas de probabilidade para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade da união de dois eventos pode ser expressa como:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Isso já nos dá uma ideia de que há uma sobreposição que precisamos considerar. Mas como temos três eventos, vamos expandir essa ideia.

Passo 3

Vamos usar o fato dado na questão: se A1 cup A2 cup A3 = A1 cup (A2 cup A3) , então e . Isso significa que a probabilidade de é pelo menos a probabilidade de .
Aplicando isso à união de três eventos, podemos decompô-la da seguinte forma:

Passo 4

Usando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos:
P(A1 cup (A2 cup A3)) = P(A1) + P(A2 cup A3) - P(A1 cap (A2 cup A3))
Sabemos que P(A1 cup A2 cup A3) <= P(A1) + P(A2) + P(A3) (pelo mesmo princípio que estamos tentando provar). Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:
P(A1 cup A2 cup A3) <= P(A1) + P(A2) + P(A3)

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