Sejam eventos quaisquer no espaço amostral . Mostre que . Use os fatos de que, para , então , e que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que a probabilidade da união de três eventos, , é menor ou igual à soma das probabilidades individuais desses eventos, ou seja:
Esse tipo de problema está dentro da teoria das probabilidades, mais especificamente nas desigualdades envolvendo probabilidades de eventos. Vamos precisar entender como manipular conjuntos e usar propriedades básicas de probabilidade para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade da união de dois eventos pode ser expressa como:
Isso já nos dá uma ideia de que há uma sobreposição que precisamos considerar. Mas como temos três eventos, vamos expandir essa ideia.

Passo 3

Vamos usar o fato dado na questão: se , então e . Isso significa que a probabilidade de é pelo menos a probabilidade de .
Aplicando isso à união de três eventos, podemos decompô-la da seguinte forma:

Passo 4

Usando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos:
Sabemos que (pelo mesmo princípio que estamos tentando provar). Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:

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  • Pergunta-se:
Cinco moedas honestas são jogadas. Se os resultados são por hipóteses independentes, determine a função de probabilidade do número de caras obtido.
Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem preenchidos com chips semicondutores. Um lote contém 140 cartões, e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional. Se cinco cartões são defeituosos, qual será a probabilidade de no mínimo um cartão defeituoso estar na amostra?