Sejam eventos quaisquer no espaço amostral . Mostre que . Use os fatos de que, para , então , e que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que a probabilidade da união de três eventos, , é menor ou igual à soma das probabilidades individuais desses eventos, ou seja:
Esse tipo de problema está dentro da teoria das probabilidades, mais especificamente nas desigualdades envolvendo probabilidades de eventos. Vamos precisar entender como manipular conjuntos e usar propriedades básicas de probabilidade para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade da união de dois eventos pode ser expressa como:
Isso já nos dá uma ideia de que há uma sobreposição que precisamos considerar. Mas como temos três eventos, vamos expandir essa ideia.
Passo 3
Vamos usar o fato dado na questão: se , então e . Isso significa que a probabilidade de é pelo menos a probabilidade de .
Aplicando isso à união de três eventos, podemos decompô-la da seguinte forma:
Passo 4
Usando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos:
P(A1 cup (A2 cup A3)) = P(A1) + P(A2 cup A3) - P(A1 cap (A2 cup A3))
Sabemos que P(A1 cup A2 cup A3) <= P(A1) + P(A2) + P(A3) (pelo mesmo princípio que estamos tentando provar). Portanto: