Carvão pulverizado, que pode ser aproximado por esferas de carbono puro com raio mm , é queimado com oxigênio puro a 1450 K e 1 atm . O oxigênio é transferido para a superfície da partícula por difusão, onde é consumido na reação . Supondo que a taxa de reação na superfície seja infinita e desprezando variações no valor de , obtenha expressões para as distribuições radiais de concentrações do e do . Qual é a taxa de consumo de ? (Resp.: . Use .
Passo 1
Entendendo o problema e o que vamos precisar
Vamos resolver um exercício sobre a queima de carvão pulverizado em oxigênio. O carvão é representado por esferas de carbono com raio $ r_0 = 1 $ mm. O oxigênio é transferido para a superfície da partícula por difusão, onde reage formando dióxido de carbono ($ \mathrm{CO}_2 $).
O que precisamos encontrar são:
As distribuições radiais das concentrações de $ \mathrm{O}_2 $ e $ \mathrm{CO}_2 $.
A taxa de consumo de $ \mathrm{O}_2 $.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Difusão de Fick, que nos ajuda a entender como as concentrações mudam com a distância.
Passo 2
Aplicando a Lei de Difusão de Fick
A primeira lei de Fick nos diz que o fluxo de difusão ($ J $) é proporcional ao gradiente de concentração:
onde:
$ D_{AB} = 1,7 \times 10^{-4} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $ é o coeficiente de difusão.
$ C $ é a concentração do gás.
$ r $ é a distância radial da partícula.
Passo 3
Encontrando a concentração de $ \mathrm{O}2 $ ($ y{\mathrm{O}_2} $)
Considerando a simetria esférica, a equação de difusão estacionária fica:
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
Onde $ K $ e $ B $ são constantes de integração.
Usando as condições de contorno:
Na superfície ($ r = r_0 $), $ C = 0 $ (razão reação infinita).
À distância infinita ($ r \rightarrow \infty $), $ C = C_{\infty} $ (usamos a fração molar, que assumimos ser 1).
Aplicando essas condições:
Portanto, $ K = r_0 $.
Substituindo de volta na expressão de $ C® $:
Passo 4
Encontrando a concentração de $ \mathrm{CO}2 $ ($ y{\mathrm{CO}_2} $)
Como a reação é $ \mathrm{C} + \mathrm{O}_2 \rightarrow \mathrm{CO}_2 $ e a taxa de reação na superfície é infinita, a quantidade de $ \mathrm{CO}_2 $ formada é igual à quantidade de $ \mathrm{O}_2 $ consumida.
Portanto, a concentração de $ \mathrm{CO}_2 $ varia de 0 na superfície até 1 à distância infinita:
Passo 5
Calculando a taxa de consumo de $ \mathrm{O}_2 $ ($ W $)
A taxa de consumo de $ \mathrm{O}_2 $ pode ser encontrada usando o fluxo de difusão na superfície:
Onde $ J $ é o fluxo na superfície:
Calculando a derivada de $ y_{\mathrm{O}_2}® $:
O2
Na superfície ($ r = r_0 $):
W = 4pi r0^2 J
Então:
J
J = -DAB dCdr |r = r0
Como a taxa deve ser positiva:
yO2(r)
Substituindo os valores:
dyO2dr = r0r^2
Convertendo para r = r0 (considerando a unidade fornecida na resposta esperada):
dyO2dr |r = r0 = r0r0^2 = 1r0
Resposta
A distribuição radial da concentração de $ \mathrm{O}_2 $ é: