Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento. As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são: • Projeto I: 1,8m, 2,0 m e 25,0 m; • Projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m; • Projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m; • Projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m; • Projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m. O projeto que o casal deverá escolher será Alternativas
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.

Passo 1

Então, a gente tem um casal que quer construir uma piscina no formato de um paralelepípedo reto retângulo, que é basicamente uma piscina com três dimensões distintas: profundidade, largura e comprimento. A capacidade que eles querem é de 90.000 litros de água, o que equivale a 90 metros cúbicos (já que 1 metro cúbico = 1.000 litros). Eles contrataram uma empresa que apresentou cinco projetos diferentes, cada um com suas próprias dimensões. A tarefa aqui é descobrir qual desses projetos vai usar a menor área de revestimento para as paredes e o fundo da piscina, ou seja, qual projeto vai exigir menos cerâmica.
Para resolver isso, vamos precisar calcular a área total que será revestida para cada projeto e comparar esses valores. A matéria que estamos aplicando aqui é Geometria, especificamente o cálculo da área de superfícies de um paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o volume e a área superficial de um paralelepípedo reto retângulo.
  • Volume (V): É dado pela fórmula $ V = comprimento \times largura \times profundidade $.
  • Área Superficial (A): Como a piscina tem revestimento nas paredes e no fundo, precisamos calcular a área das duas paredes laterais, das duas paredes de fundo e da área do fundo. A fórmula para a área superficial nesse caso é:
    V = comprimento times largura times profundidade
Isso simplifica para:
A = 2 times (profundidade times largura) + 2 times (profundidade times comprimento) + (largura times comprimento)
onde:
  • $ l $ é o comprimento,
  • $ w $ é a largura,
  • $ h $ é a profundidade.

Passo 3

Vamos calcular a área superficial para cada um dos projetos apresentados:
Projeto I:
  • Profundidade ($ h $) = 1,8 m
  • Largura ($ w $) = 2,0 m
  • Comprimento ($ l $) = 25,0 m
Calculando a área:
h
w
l ²
Projeto II:
  • Profundidade = 2,0 m
  • Largura = 5,0 m
  • Comprimento = 9,0 m
Área:
A = 2(1,8 times 2,0) + 2(1,8 times 25,0) + (2,0 times 25,0)
A = 2(3,6) + 2(45) + 50
A = 7,2 + 90 + 50 = 147,2 , m² ²
Projeto III:
  • Profundidade = 1,0 m
  • Largura = 6,0 m
  • Comprimento = 15,0 m
Área:
A = 2(2,0 times 5,0) + 2(2,0 times 9,0) + (5,0 times 9,0)
A = 2(10) + 2(18) + 45
A = 20 + 36 + 45 = 101 , m² ²
Projeto IV:
  • Profundidade = 1,5 m
  • Largura = 15,0 m
  • Comprimento = 4,0 m
Área:
A = 2(1,0 times 6,0) + 2(1,0 times 15,0) + (6,0 times 15,0)
A = 2(6) + 2(15) + 90
A = 12 + 30 + 90 = 132 , m² ²
Projeto V:
  • Profundidade = 2,5 m
  • Largura = 3,0 m
  • Comprimento = 12,0 m
Área:
A = 2(1,5 times 15,0) + 2(1,5 times 4,0) + (15,0 times 4,0)
A = 2(22,5) + 2(6) + 60
A = 45 + 12 + 60 = 117 , m² ²

Resposta

Analisando as áreas calculadas para cada projeto:
  • Projeto I: 147,2 m²
  • Projeto II: 101 m²
  • Projeto III: 132 m²
  • Projeto IV: 117 m²
  • Projeto V: 111 m²
O projeto que exige a menor área de revestimento é o Projeto II, com 101 m².
Alternativa B) II.

Exercícios relacionados