Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento. As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são: • Projeto I: 1,8m, 2,0 m e 25,0 m; • Projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m; • Projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m; • Projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m; • Projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m. O projeto que o casal deverá escolher será Alternativas
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Passo 1
Então, a gente tem um casal que quer construir uma piscina no formato de um paralelepípedo reto retângulo, que é basicamente uma piscina com três dimensões distintas: profundidade, largura e comprimento. A capacidade que eles querem é de 90.000 litros de água, o que equivale a 90 metros cúbicos (já que 1 metro cúbico = 1.000 litros). Eles contrataram uma empresa que apresentou cinco projetos diferentes, cada um com suas próprias dimensões. A tarefa aqui é descobrir qual desses projetos vai usar a menor área de revestimento para as paredes e o fundo da piscina, ou seja, qual projeto vai exigir menos cerâmica.
Para resolver isso, vamos precisar calcular a área total que será revestida para cada projeto e comparar esses valores. A matéria que estamos aplicando aqui é Geometria, especificamente o cálculo da área de superfícies de um paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o volume e a área superficial de um paralelepípedo reto retângulo.
-
Volume (V): É dado pela fórmula $ V = comprimento \times largura \times profundidade $.
-
Área Superficial (A): Como a piscina tem revestimento nas paredes e no fundo, precisamos calcular a área das duas paredes laterais, das duas paredes de fundo e da área do fundo. A fórmula para a área superficial nesse caso é:
Isso simplifica para:
onde:
- $ l $ é o comprimento,
- $ w $ é a largura,
- $ h $ é a profundidade.
Passo 3
Vamos calcular a área superficial para cada um dos projetos apresentados:
Projeto I:
- Profundidade ($ h $) = 1,8 m
- Largura ($ w $) = 2,0 m
- Comprimento ($ l $) = 25,0 m
Calculando a área:
Projeto II:
- Profundidade = 2,0 m
- Largura = 5,0 m
- Comprimento = 9,0 m
Área:
Projeto III:
- Profundidade = 1,0 m
- Largura = 6,0 m
- Comprimento = 15,0 m
Área:
Projeto IV:
- Profundidade = 1,5 m
- Largura = 15,0 m
- Comprimento = 4,0 m
Área:
Projeto V:
- Profundidade = 2,5 m
- Largura = 3,0 m
- Comprimento = 12,0 m
Área:
Resposta
Analisando as áreas calculadas para cada projeto:
- Projeto I: 147,2 m²
- Projeto II: 101 m²
- Projeto III: 132 m²
- Projeto IV: 117 m²
- Projeto V: 111 m²
O projeto que exige a menor área de revestimento é o Projeto II, com 101 m².
Alternativa B) II.