Um menino empina uma pipa a 300 pés de altura; o vento afasta a pipa horizontalmente em relação ao menino a uma velocidade de 25 pés/s. A que taxa ele deve soltar a linha quando a pipa está a 500 pés de distância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um menino que está empinando uma pipa a uma altura fixa de 300 pés. O vento está empurrando a pipa horizontalmente a uma velocidade de 25 pés por segundo. A pergunta é: a que taxa ele precisa soltar a linha quando a pipa está a 500 pés de distância dele? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde a altura fixa (300 pés) é um cateto, a distância horizontal que a pipa está do menino (que está aumentando devido ao vento) é o outro cateto, e a linha da pipa é a hipotenusa, que também está mudando de comprimento.

Passo 3

Vamos chamar:
  • $ y $ de distância horizontal da pipa em relação ao menino (que está aumentando a 25 pés/s).
  • $ x $ de altura da pipa (300 pés, constante).
  • $ z $ de comprimento da linha da pipa (hipotenusa do triângulo).
A relação entre eles é dada pelo teorema de Pitágoras:
y

Passo 4

Como queremos achar a taxa de variação de $ z $ (ou seja, $ \frac{dz}{dt} $), vamos derivar a equação em relação ao tempo $ t $:
z
Simplificando, temos:
dzdt

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de $ y $ e $ z $ quando a distância da pipa é 500 pés. Já sabemos que $ y = 500 $ pés e $ \frac{dy}{dt} = 25 $ pés/s.
Vamos encontrar $ z $ usando o teorema de Pitágoras:
y é

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da taxa de variação:
dzdt = 500583.095 cdot 25
Calculando:
dzdt approx 0.857 cdot 25 approx 21.43 pés/s é

Resposta

O menino precisa soltar a linha da pipa a uma taxa de aproximadamente 21,43 pés por segundo quando a pipa está a 500 pés de distância.

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