Um menino empina uma pipa a 300 pés de altura; o vento afasta a pipa horizontalmente em relação ao menino a uma velocidade de 25 pés/s. A que taxa ele deve soltar a linha quando a pipa está a 500 pés de distância?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um menino que está empinando uma pipa a uma altura fixa de 300 pés. O vento está empurrando a pipa horizontalmente a uma velocidade de 25 pés por segundo. A pergunta é: a que taxa ele precisa soltar a linha quando a pipa está a 500 pés de distância dele? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde a altura fixa (300 pés) é um cateto, a distância horizontal que a pipa está do menino (que está aumentando devido ao vento) é o outro cateto, e a linha da pipa é a hipotenusa, que também está mudando de comprimento.
Passo 3
Vamos chamar:
- $ y $ de distância horizontal da pipa em relação ao menino (que está aumentando a 25 pés/s).
- $ x $ de altura da pipa (300 pés, constante).
- $ z $ de comprimento da linha da pipa (hipotenusa do triângulo).
A relação entre eles é dada pelo teorema de Pitágoras:
Passo 4
Como queremos achar a taxa de variação de $ z $ (ou seja, $ \frac{dz}{dt} $), vamos derivar a equação em relação ao tempo $ t $:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de $ y $ e $ z $ quando a distância da pipa é 500 pés. Já sabemos que $ y = 500 $ pés e $ \frac{dy}{dt} = 25 $ pés/s.
Vamos encontrar $ z $ usando o teorema de Pitágoras:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula da taxa de variação:
Calculando:
Resposta
O menino precisa soltar a linha da pipa a uma taxa de aproximadamente 21,43 pés por segundo quando a pipa está a 500 pés de distância.