Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio
está carregada com densidade linear dada por
distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de
acima de sua superfície?
nenhuma das outras
nenhuma das outras
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma casca cilíndrica muito longa e isolante, com raio
metros. Essa casca está carregada com uma densidade linear de carga
C/m, distribuída de forma uniforme na sua superfície. A pergunta é: qual será a leitura de um voltímetro quando ele for ligado entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância
metros acima da superfície? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente sobre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico gerado por essa casca cilíndrica. Como a casca é muito longa e a carga está distribuída uniformemente, podemos tratar isso como um fio infinito carregado. Para encontrar o campo elétrico ao redor de um fio infinito com densidade linear de carga
, usamos a Lei de Gauss.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Para um fio infinito, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio. A simetria nos permite dizer que o campo elétrico
é constante em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e perpendicular a ela.
Passo 4
A superfície gaussiana tem raio
e comprimento
. O fluxo elétrico
através dessa superfície é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Simplificando a equação para resolver o campo elétrico
:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a superfície do cilindro e o ponto a uma distância
acima da superfície. A diferença de potencial
pode ser calculada integrando o campo elétrico ao longo da distância:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores dados na equação:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculemos a parte dentro do logaritmo:
Agora, o logaritmo natural:
Agora, calculemos a constante:
Multiplicando pelo logaritmo:
Resposta
A leitura do voltímetro será aproximadamente
volts.