Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio r=7,47 e-02 m está carregada com densidade linear dada por x=1,10 e-05 C / m distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de d=5,00 e-02 m acima de sua superfície? square
square
square
square
9,97 e+04
nenhuma das outras
3,58 e+04
7,63 e+04

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma casca cilíndrica muito longa e isolante, com raio metros. Essa casca está carregada com uma densidade linear de carga C/m, distribuída de forma uniforme na sua superfície. A pergunta é: qual será a leitura de um voltímetro quando ele for ligado entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância metros acima da superfície? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente sobre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico gerado por essa casca cilíndrica. Como a casca é muito longa e a carga está distribuída uniformemente, podemos tratar isso como um fio infinito carregado. Para encontrar o campo elétrico ao redor de um fio infinito com densidade linear de carga , usamos a Lei de Gauss.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . Para um fio infinito, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o fio. A simetria nos permite dizer que o campo elétrico é constante em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e perpendicular a ela.

Passo 4

A superfície gaussiana tem raio PhiE = E cdot 2pi r L e comprimento E cdot 2pi r L = lambda Lepsilon0 . O fluxo elétrico através dessa superfície é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é . Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Simplificando a equação para resolver o campo elétrico E = lambda2pi epsilon0 r :
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a superfície do cilindro e o ponto a uma distância V = integralr^r + d E , dr acima da superfície. A diferença de potencial V = integralr^r + d lambda2pi epsilon0 r , dr = lambda2pi epsilon0 ln(r + dr) pode ser calculada integrando o campo elétrico ao longo da distância:
Substituindo da equação anterior:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores dados na equação:
lambda = 1,10 times 10^-5 , C/m
r = 7,47 times 10^-2 , m
d = 5,00 times 10^-2 , m
epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2
V = 1,10 times 10^-52pi times 8,85 times 10^-12 ln(7,47 times 10^-2 + 5,00 times 10^-27,47 times 10^-2)

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculemos a parte dentro do logaritmo:
7,47 times 10^-2 + 5,00 times 10^-27,47 times 10^-2 = 12,47 times 10^-27,47 times 10^-2 approx 1,669
Agora, o logaritmo natural:
ln(1,669) approx 0,511
Agora, calculemos a constante:
1,10 times 10^-52pi times 8,85 times 10^-12 approx 1,10 times 10^-55,56 times 10^-11 approx 1,98 times 10^5 , V/m
Multiplicando pelo logaritmo:
V approx 1,98 times 10^5 times 0,511 approx 1,01 times 10^5 , V

Resposta

A leitura do voltímetro será aproximadamente volts.

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