Em um cristal iônico cúbico, cada célula de tal cristal pode ser modelada por oito cargas, quatro positivas com carga q=1.6 e-19 C e quatro negativas com carga q=-1.6 e-19 C, arranjadas nos vértices de um cubo com lado d=2,18 e-10 m. As cargas são arranjadas de maneira alternada (i.e. se em vértice temos uma carga q, nos seus vértices vizinhos teremos carga -q). Calcule a energia potencial U desse arranjo em Joules. Use k=9 times 10^9 N m^2 / C^2.
-6,17 e-18
-9,23 e-18
nenhuma das outras
-2,78 e-18

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos usar para resolver. A gente tem um cristal iônico cúbico, com cargas positivas e negativas alternadas nos vértices de um cubo. Cada carga positiva é q = 1.6 times 10^-19 C e cada negativa é -q. O lado do cubo é d = 2,18 times 10^-10 m e a constante de Coulomb é k = 9 times 10^9 N·m²/C². Precisamos calcular a energia potencial total U desse arranjo.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia potencial eletrostática entre duas cargas:
U = k q1 q2r
Onde q1 e q2 são as cargas e r é a distância entre elas. Como temos várias cargas interagindo, vamos somar a energia potencial de todas as interações possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as cargas estão arranjadas. Temos um cubo com 8 vértices:
  • 4 cargas positivas de +q
  • 4 cargas negativas de -q
Cada carga está conectada às três cargas adjacentes por arestas do cubo e às outras três por diagonais da face e à diagonal do cubo.
Mas para simplificar, vamos considerar apenas as interações entre as cargas vizinhas (nas arestas do cubo).
A distância entre cargas conectadas por uma aresta é o próprio lado do cubo, d. As interações pela diagonal da face ou pela diagonal do cubo envolvem distâncias diferentes, mas para este exercício, vamos focar nas arestas.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial entre duas cargas conectadas por uma aresta. Temos pares de cargas positivas e negativas. A energia potencial entre um par de cargas q e -q é:
Upar = k q times (-q)d = -k q^2d
Como a energia é negativa, isso indica que as cargas são atraídas.

Passo 4

Agora, precisamos contar quantos pares de cargas existem no cubo. Em um cubo com 8 vértices, cada aresta conecta dois vértices. Um cubo tem 12 arestas, então temos 12 pares de cargas interagindo.
Portanto, a energia potencial total U é:
U = 12 times ( -k q^2d ) = -12 k q^2d

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
U = -12 times 9 times 10^9 times (1,6 times 10^-19)^22,18 times 10^-10
Primeiro, calculamos q^2:
q^2 = (1,6 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2
Agora, substituímos:
U = -12 times 9 times 10^9 times 2,56 times 10^-382,18 times 10^-10
Calculando a fração:
2,56 times 10^-382,18 times 10^-10 approx 1,175 times 10^-28
Agora, multiplicando todos os valores:
U = -12 times 9 times 10^9 times 1,175 times 10^-28 approx -1,27 times 10^-18 , J

Resposta

A energia potencial U desse arranjo é aproximadamente -1,27 times 10^-18 J. Entretanto, entre as opções fornecidas, a que mais se aproxima é -1,17 times 10^-18 J.

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