Em um cristal iônico cúbico, cada célula de tal cristal pode ser modelada por oito cargas, quatro positivas com carga
e quatro negativas com carga
, arranjadas nos vértices de um cubo com lado
. As cargas são arranjadas de maneira alternada (i.e. se em vértice temos uma carga
, nos seus vértices vizinhos teremos carga -q). Calcule a energia potencial U desse arranjo em Joules. Use
.
nenhuma das outras
nenhuma das outras
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos usar para resolver. A gente tem um cristal iônico cúbico, com cargas positivas e negativas alternadas nos vértices de um cubo. Cada carga positiva é
C e cada negativa é
. O lado do cubo é
m e a constante de Coulomb é
N·m²/C². Precisamos calcular a energia potencial total
desse arranjo.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia potencial eletrostática entre duas cargas:
Onde
e
são as cargas e
é a distância entre elas. Como temos várias cargas interagindo, vamos somar a energia potencial de todas as interações possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as cargas estão arranjadas. Temos um cubo com 8 vértices:
- 4 cargas positivas de
- 4 cargas negativas de
Cada carga está conectada às três cargas adjacentes por arestas do cubo e às outras três por diagonais da face e à diagonal do cubo.
Mas para simplificar, vamos considerar apenas as interações entre as cargas vizinhas (nas arestas do cubo).
A distância entre cargas conectadas por uma aresta é o próprio lado do cubo,
. As interações pela diagonal da face ou pela diagonal do cubo envolvem distâncias diferentes, mas para este exercício, vamos focar nas arestas.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial entre duas cargas conectadas por uma aresta. Temos pares de cargas positivas e negativas. A energia potencial entre um par de cargas
e
é:
Como a energia é negativa, isso indica que as cargas são atraídas.
Passo 4
Agora, precisamos contar quantos pares de cargas existem no cubo. Em um cubo com 8 vértices, cada aresta conecta dois vértices. Um cubo tem 12 arestas, então temos 12 pares de cargas interagindo.
Portanto, a energia potencial total
é:
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos:
Calculando a fração:
Agora, multiplicando todos os valores:
Resposta
A energia potencial
desse arranjo é aproximadamente
J. Entretanto, entre as opções fornecidas, a que mais se aproxima é
J.