Uma casca esférica condutora, de raio interno R / 2 e raio externo R, está carregada. Indique as alternativas corretas se o potencial elétrico na superfície externa da casca é de 400 V (considere o potencial nulo no infinito).
(e) É possível determinar o campo elétrico, na região interna da superfície externa da casca, pelo uso da fórmula E=-nabla V.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica condutora com raio interno R/2 e raio externo R, que está carregada. Sabemos que o potencial elétrico na superfície externa dessa casca é de 400 V, e consideramos que o potencial no infinito é zero. A questão pergunta se a alternativa (e) está correta, que diz:
(e) É possível determinar o campo elétrico, na região interna da superfície externa da casca, pelo uso da fórmula E = -nabla V.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, campo elétrico e a relação entre eles usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para distribuições de carga simétricas, como uma casca esférica, podemos usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A relação entre o campo elétrico E e o potencial elétrico V é dada por:
E = -nabla V
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico.

Passo 3

Agora, vamos analisar a região interna da superfície externa da casca. Como a casca é condutora e em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto, dentro da casca (entre R/2 e R), o campo elétrico E é zero.

Passo 4

Para a região imediatamente externa à casca (logo fora de R), podemos usar a lei de Gauss para uma esfera de raio r > R. O campo elétrico nessa região é:
E(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2
Onde Q é a carga total na casca.

Passo 5

Agora, se tentarmos usar a relação E = -nabla V para determinar o campo elétrico nessa região, veremos que é possível sim relacionar o campo e o potencial, desde que conheçamos a expressão de V(r). Integrando o campo elétrico, podemos encontrar o potencial:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr
Dessa forma, usando E = -nabla V, confirmamos que podemos determinar o campo elétrico a partir do potencial.

Resposta

Sim, a alternativa (e) está correta. É possível determinar o campo elétrico na região interna da superfície externa da casca utilizando a fórmula E = -nabla V.

Exercícios relacionados