Considere que um elétron está confinado a se mover unidimensionalmente em uma região definida por 0 <= x <= L, onde L é um número real e positivo.
(b) Agora, use a função de onda com o valor de A encontrado e calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região 0 <= x <= L2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um elétron que só pode se mover numa direção, entre 0 e $ L $. Isso faz parte da matéria de mecânica quântica, onde estudamos como partículas se comportam em escalas muito pequenas. Para resolver esse exercício, a gente vai precisar usar a função de onda do elétron e calcular a probabilidade de ele estar numa parte específica do espaço, que nesse caso é de $ 0 $ a $ \frac{L}{2} $.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função de onda $ \psi(x) $ descreve todas as informações sobre o estado quântico do elétron. No caso de uma partícula confinada num poço de potencial infinito, a função de onda é dada por:
psi(x)
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que a gente já encontrou na parte anterior.

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar o elétron entre $ 0 $ e $ \frac{L}{2} $, a gente precisa calcular o quadrado da função de onda $ |\psi_n(x)|^2 $ e integrar essa expressão de $ 0 $ a $ \frac{L}{2} $. A probabilidade $ P $ é dada por:
0

Passo 4

Vamos substituir $ \psi_n(x) $ na expressão da probabilidade:
psin(x)

Passo 5

Lembrando que a integral de $ \sin^2 $ pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
sin^2
Aplicando isso na integral:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente:
integral0^L2 1 , dx = L2
integral0^L2 cos(2npi xL) dx = L2npi sin(2npi xL) gr|0^L2 = L2npi ( sin(npi) - sin(0) ) = 0
Pois $ \sin(n\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $.

Passo 7

Então, a probabilidade fica:
P = A^22 ( L2 - 0 ) = A^2 L4

Passo 8

Agora, sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja, a integral de $ |\psi_n(x)|^2 $ de $ 0 $ a $ L $ deve ser igual a 1:
|psin(x)|^2

Passo 9

Substituindo $ A $ na expressão da probabilidade:
A

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 \leq x \leq \frac{L}{2} $ é de 50%.

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