Considere que um elétron está confinado a se mover unidimensionalmente em uma região definida por
, onde
é um número real e positivo.
(b) Agora, use a função de onda com o valor de
encontrado e calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região
.
(b) Agora, use a função de onda com o valor de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um elétron que só pode se mover numa direção, entre 0 e $ L $. Isso faz parte da matéria de mecânica quântica, onde estudamos como partículas se comportam em escalas muito pequenas. Para resolver esse exercício, a gente vai precisar usar a função de onda do elétron e calcular a probabilidade de ele estar numa parte específica do espaço, que nesse caso é de $ 0 $ a $ \frac{L}{2} $.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a função de onda $ \psi(x) $ descreve todas as informações sobre o estado quântico do elétron. No caso de uma partícula confinada num poço de potencial infinito, a função de onda é dada por:
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que a gente já encontrou na parte anterior.
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar o elétron entre $ 0 $ e $ \frac{L}{2} $, a gente precisa calcular o quadrado da função de onda $ |\psi_n(x)|^2 $ e integrar essa expressão de $ 0 $ a $ \frac{L}{2} $. A probabilidade $ P $ é dada por:
Passo 4
Vamos substituir $ \psi_n(x) $ na expressão da probabilidade:
Passo 5
Lembrando que a integral de $ \sin^2 $ pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral separadamente:
Pois $ \sin(n\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $.
Passo 7
Então, a probabilidade fica:
Passo 8
Agora, sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja, a integral de $ |\psi_n(x)|^2 $ de $ 0 $ a $ L $ deve ser igual a 1:
Passo 9
Substituindo $ A $ na expressão da probabilidade:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 \leq x \leq \frac{L}{2} $ é de 50%.