Uma casca esférica isolante, com um raio interno de 4,0 cm e um raio externo de 6,0 cm, possui uma distribuição de carga não uniforme. A densidade volumétrica de carga rho, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. No caso dessa casca, rho=b / r, em que r é a distância em metros a partir do centro da casca e b=3,0 mu C / m^2. Qual a carga total da casca?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica isolante que não tem carga distribuída de maneira uniforme. O que queremos descobrir é qual é a carga total dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga e integração para calcular a carga total. A densidade volumétrica de carga aqui é dada por rho = br, onde r é a distância do centro da casca. Precisamos integrar essa densidade sobre todo o volume da casca para achar a carga total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a carga total Q pode ser calculada integrando a densidade de carga rho sobre o volume da casca. A fórmula para a carga total é:
Q = integral rho , dV
Aqui, dV é um elemento de volume na casca. Como a casca é esférica, usamos coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV é dado por:
dV = 4pi r^2 , dr
Substituindo rho = br na expressão da carga total, temos:
Q = integralrin^rout br cdot 4pi r^2 , dr
Simplificando a expressão:
Q = 4pi b integralrin^rout r , dr
Agora, vamos integrar r em relação a dr:
integral r , dr = r^22
Portanto:
Q = 4pi b [ r^22 ]4,cm^6,cm
Convertendo os centímetros para metros:
4,cm = 0,04,m 6,cm = 0,06,m
Substituindo os valores:
Q = 4pi cdot 3,0 times 10^-6, Cm^2 cdot ( (0,06)^22 - (0,04)^22 )
Calculando os quadrados:
(0,06)^2 = 0,0036,m^2 (0,04)^2 = 0,0016,m^2
Subtraindo:
0,00362 - 0,00162 = 0,0018 - 0,0008 = 0,0010,m^2
Multiplicando todos os valores:
Q = 4pi cdot 3,0 times 10^-6 cdot 0,0010 = 12pi times 10^-6 cdot 0,0010 = 12pi times 10^-9,C

Resposta

A carga total da casca é Q = 12pi times 10^-9,C.

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