Uma casca esférica isolante, com um raio interno de
e um raio externo de
, possui uma distribuição de carga não uniforme. A densidade volumétrica de carga
, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. No caso dessa casca,
, em que
é a distância em metros a partir do centro da casca e
. Qual a carga total da casca?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica isolante que não tem carga distribuída de maneira uniforme. O que queremos descobrir é qual é a carga total dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga e integração para calcular a carga total. A densidade volumétrica de carga aqui é dada por
, onde
é a distância do centro da casca. Precisamos integrar essa densidade sobre todo o volume da casca para achar a carga total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a carga total
pode ser calculada integrando a densidade de carga
sobre o volume da casca. A fórmula para a carga total é:
Aqui,
é um elemento de volume na casca. Como a casca é esférica, usamos coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Substituindo
na expressão da carga total, temos:
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Portanto:
Convertendo os centímetros para metros:
Substituindo os valores:
Calculando os quadrados:
Subtraindo:
Multiplicando todos os valores:
Resposta
A carga total da casca é
.