Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano
, com o eixo
na direção vertical. Despreze a resistência do ar.
d) Comparando os resultados dos itens b e c, mostre que
em que
é o alcance horizontal e
é a altura máxima.
d) Comparando os resultados dos itens b e c, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um projétil lançado perto da Terra, movendo-se no plano
, onde
é a direção pra cima. Ignoramos a resistência do ar, então só a gravidade tá agindo. A matéria envolvida aqui é o movimento de projéteis, que faz parte da cinemática na física. Pra resolver, vamos precisar das fórmulas do alcance horizontal (
) e da altura máxima (
) de um projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o alcance horizontal (
) de um projétil. O alcance é a distância que o projétil percorre na direção horizontal antes de cair no chão. A fórmula é:
onde
é a velocidade inicial na direção
e
é o tempo total de voo.
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo total de voo (
). Como o projétil sobe e depois desce, o tempo total é o dobro do tempo que ele leva pra atingir a altura máxima. A fórmula do tempo até a altura máxima é:
onde
é a velocidade inicial na direção
e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Então, o tempo total de voo é:
Passo 4
Voltando à fórmula do alcance horizontal, substituímos o tempo total de voo:
Então, podemos identificar que:
o que confirma a primeira parte da equação que precisamos mostrar.
Passo 5
Agora, vamos calcular a altura máxima (
) que o projétil atinge. A fórmula para a altura máxima é:
Aqui, vimos que
, então já temos:
Isso confirma a segunda parte da equação que precisamos mostrar.
Resposta
Assim, mostramos que: