Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano x z, com o eixo z na direção vertical. Despreze a resistência do ar.
d) Comparando os resultados dos itens b e c, mostre que
h=xm2=vx 0 vz 0g, k=ym=vz 0^22 g
em que xm é o alcance horizontal e ym é a altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um projétil lançado perto da Terra, movendo-se no plano , onde é a direção pra cima. Ignoramos a resistência do ar, então só a gravidade tá agindo. A matéria envolvida aqui é o movimento de projéteis, que faz parte da cinemática na física. Pra resolver, vamos precisar das fórmulas do alcance horizontal ( ) e da altura máxima ( ) de um projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o alcance horizontal ( xm = vx0 cdot t ) de um projétil. O alcance é a distância que o projétil percorre na direção horizontal antes de cair no chão. A fórmula é:
onde é a velocidade inicial na direção e é o tempo total de voo.

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total de voo ( tmáx = vz0g ). Como o projétil sobe e depois desce, o tempo total é o dobro do tempo que ele leva pra atingir a altura máxima. A fórmula do tempo até a altura máxima é:
t = 2 cdot tmáx = 2 vz0g á
onde é a velocidade inicial na direção e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Então, o tempo total de voo é:
á

Passo 4

Voltando à fórmula do alcance horizontal, substituímos o tempo total de voo:
xm = vx0 cdot 2 vz0g = 2 vx0 vz0g
Então, podemos identificar que:
h = xm2 = vx0 vz0g
o que confirma a primeira parte da equação que precisamos mostrar.

Passo 5

Agora, vamos calcular a altura máxima ( ym = vz0^22g ) que o projétil atinge. A fórmula para a altura máxima é:
k = vz0^22g
Aqui, vimos que , então já temos:
Isso confirma a segunda parte da equação que precisamos mostrar.

Resposta

Assim, mostramos que:
h = xm2 = vx0 vz0g, k = ym = vz0^22 g

Exercícios relacionados