Para o projétil do problema 2,
b) Suponha que b x / m vx 0<<1. Para obter uma equação z(x) aproximada, expanda o logarítmo da equação acima e mostre que
z=vz 0vx 0 x-g2 vx 0^2 x^2-b g3 m vx 0^3 x^3-ldots

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para, partindo de uma equação envolvendo um logaritmo relacionada à trajetória de um projétil, assumindo que é bem pequeno ( ), expandir esse logaritmo para obter uma expressão aproximada para . O conteúdo aqui envolve mecânica, especificamente o movimento de projéteis com resistência do ar. Vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para aproximar o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a equação original que relaciona z(x) = vz0vx0 x - g2 vx0^2 x^2 - b g3 m vx0^3 x^3 - ldots com os outros parâmetros. Geralmente, para um projétil com resistência do ar proporcional à velocidade, as equações de movimento nas direções e podem ser derivadas e combinadas para obter .
A equação provavelmente envolve um logaritmo que precisa ser expandido. Vamos supor que temos uma expressão do tipo:
Nossa tarefa é mostrar como essa expansão surge a partir da suposição .

Passo 3

Para expandir o logaritmo, vamos usar a série de Taylor para ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - ldots , que é válida quando :
No nosso caso, identificamos que , que é muito pequeno, conforme a condição dada. Portanto, podemos substituir na série de Taylor.

Passo 4

Substituindo ln(1 + b xm vx0) = b xm vx0 - 12(b xm vx0)^2 + 13(b xm vx0)^3 - ldots na expansão do logaritmo, temos:
Essa expansão nos permite aproximar a expressão original de em termos de potências de .

Passo 5

Agora, substituímos essa expansão na equação de z(x) = vz0vx0 x - g2 vx0^2 x^2 - b g3 m vx0^3 x^3 - ldots . Assumindo que a equação original de inclui o logaritmo que acabamos de expandir, ao substituir, obtemos termos de diferentes ordens de :
Cada termo corresponde a uma ordem de aproximação na expansão, sendo a condição essencial para que os termos de ordem superior sejam desprezados em análises mais simplificadas.

Resposta

Portanto, ao expandir o logaritmo assumindo que z(x) = vz0vx0 x - g2 vx0^2 x^2 - b g3 m vx0^3 x^3 - ldots é muito pequeno, obtemos a seguinte expressão aproximada para :

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