Para o projétil do problema 2,
b) Suponha que
. Para obter uma equação
aproximada, expanda o logarítmo da equação acima e mostre que
b) Suponha que
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para, partindo de uma equação envolvendo um logaritmo relacionada à trajetória de um projétil, assumindo que
é bem pequeno (
), expandir esse logaritmo para obter uma expressão aproximada para
. O conteúdo aqui envolve mecânica, especificamente o movimento de projéteis com resistência do ar. Vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para aproximar o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a equação original que relaciona
com os outros parâmetros. Geralmente, para um projétil com resistência do ar proporcional à velocidade, as equações de movimento nas direções
e
podem ser derivadas e combinadas para obter
.
A equação provavelmente envolve um logaritmo que precisa ser expandido. Vamos supor que temos uma expressão do tipo:
Nossa tarefa é mostrar como essa expansão surge a partir da suposição
.
Passo 3
Para expandir o logaritmo, vamos usar a série de Taylor para
, que é válida quando
:
No nosso caso, identificamos que
, que é muito pequeno, conforme a condição dada. Portanto, podemos substituir
na série de Taylor.
Passo 4
Substituindo
na expansão do logaritmo, temos:
Essa expansão nos permite aproximar a expressão original de
em termos de potências de
.
Passo 5
Agora, substituímos essa expansão na equação de
. Assumindo que a equação original de
inclui o logaritmo que acabamos de expandir, ao substituir, obtemos termos de diferentes ordens de
:
Cada termo corresponde a uma ordem de aproximação na expansão, sendo a condição
essencial para que os termos de ordem superior sejam desprezados em análises mais simplificadas.
Resposta
Portanto, ao expandir o logaritmo assumindo que
é muito pequeno, obtemos a seguinte expressão aproximada para
: