Uma casca esférica de raio R=3 m tem seu centro na origem e uma densidade de carga superficial sigma=3 nC / m^2. Uma carga puntiforme q=250 nC é posicionada sobre o eixo y em y=2 m. Determine o campo elétrico sobre o eixo x em a) x=2 m e b) x=4 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica com raio e densidade de carga superficial . Tem também uma carga pontual posicionada no eixo y, em . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no eixo x nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico devido à casca esférica. Como a casca é esférica e tem carga distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss. Para pontos fora da casca ( ), o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual no centro da esfera. Já para pontos dentro da casca ( ), o campo elétrico é zero.
No nosso caso, os pontos onde queremos encontrar o campo ( e ) estão ambos fora da casca, já que . Portanto, o campo elétrico devido à casca no eixo x será como se toda a carga estivesse concentrada na origem.

Passo 3

Vamos calcular a carga total da casca esférica. A carga total Q = sigma times 4pi R^2 é dada pela densidade superficial vezes a área da casca:
Q = 3 times 10^-9 , C/m^2 times 4pi (3)^2 = 3 times 10^-9 times 4pi times 9 = 108pi times 10^-9 , C approx 3,39 times 10^-7 , C
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos considerar a carga pontual E = k qr^2 posicionada no eixo y. O campo elétrico devido a essa carga no eixo x pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde e é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 5

Vamos calcular a distância r = raizx^2 + y^2 entre a carga pontual e os pontos no eixo x. A carga está em r = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2,828 , m e queremos calcular o campo em r = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 approx 4,472 , m e . A distância é dada pelo teorema de Pitágoras:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga pontual nos dois pontos:
Para Eq = 8,988 times 10^9 times 250 times 10^-9(2,828)^2 approx 8,988 times 10^9 times 250 times 10^-98 approx 280,5 times 10^3 , N/C :
Eq = 8,988 times 10^9 times 250 times 10^-9(4,472)^2 approx 8,988 times 10^9 times 250 times 10^-920 approx 112,2 times 10^3 , N/C
Para :

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à casca esférica nos pontos em consideração. Como os pontos estão fora da casca, o campo é equivalente ao de uma carga EQ = k Qx^2 no centro:
EQ = 8,988 times 10^9 times 3,39 times 10^-72^2 approx 8,988 times 10^9 times 3,39 times 10^-74 approx 7,64 times 10^3 , N/C
Para EQ = 8,988 times 10^9 times 3,39 times 10^-74^2 approx 8,988 times 10^9 times 3,39 times 10^-716 approx 1,91 times 10^3 , N/C :
Para :

Passo 8

Finalmente, para encontrar o campo elétrico total nos pontos desejados, somamos os campos devido à carga pontual e à casca esférica. Como ambos os campos estão na mesma direção (ao longo do eixo x), a soma é direta:
Para Etotal = Eq + EQ approx 280,5 times 10^3 + 7,64 times 10^3 approx 288,1 times 10^3 , N/C :
Etotal = Eq + EQ approx 112,2 times 10^3 + 1,91 times 10^3 approx 114,1 times 10^3 , N/C
Para :

Resposta

O campo elétrico total no eixo x é aproximadamente em e em .

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