Uma casca esférica de raio
tem seu centro na origem e uma densidade de carga superficial
. Uma carga puntiforme
é posicionada sobre o eixo y em
. Determine o campo elétrico sobre o eixo x em a)
e b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica com raio
e densidade de carga superficial
. Tem também uma carga pontual
posicionada no eixo y, em
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no eixo x nos pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico devido à casca esférica. Como a casca é esférica e tem carga distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss. Para pontos fora da casca (
), o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual no centro da esfera. Já para pontos dentro da casca (
), o campo elétrico é zero.
No nosso caso, os pontos onde queremos encontrar o campo (
e
) estão ambos fora da casca, já que
. Portanto, o campo elétrico devido à casca no eixo x será como se toda a carga estivesse concentrada na origem.
Passo 3
Vamos calcular a carga total da casca esférica. A carga total
é dada pela densidade superficial vezes a área da casca:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos considerar a carga pontual
posicionada no eixo y. O campo elétrico devido a essa carga no eixo x pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde
e
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 5
Vamos calcular a distância
entre a carga pontual e os pontos no eixo x. A carga está em
e queremos calcular o campo em
e
. A distância
é dada pelo teorema de Pitágoras:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga pontual nos dois pontos:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à casca esférica nos pontos em consideração. Como os pontos estão fora da casca, o campo é equivalente ao de uma carga
no centro:
Para
:
Para
:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o campo elétrico total nos pontos desejados, somamos os campos devido à carga pontual e à casca esférica. Como ambos os campos estão na mesma direção (ao longo do eixo x), a soma é direta:
Para
:
Para
:
Resposta
O campo elétrico total no eixo x é aproximadamente
em
e
em
.