Derivar a formula para a velocidade media
num movimento com aceleração constante se velocidades inicial
e final
são dados. Obs: a velocidade media é definida pela seguinte relação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente derivar a fórmula para a velocidade média
num movimento com aceleração constante, sabendo as velocidades inicial
e final
. Vamos usar conceitos de cinemática, especialmente relacionando velocidade média, deslocamento e tempo. Para resolver, vamos precisar entender como a velocidade média se relaciona com as velocidades inicial e final em um movimento com aceleração constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade média. A velocidade média
é definida como o deslocamento total dividido pelo tempo total do movimento. No enunciado, essa relação é dada por:
Aqui,
representa o deslocamento total.
Passo 3
Sabemos que, num movimento com aceleração constante, a velocidade em qualquer instante pode ser expressa como uma média entre a velocidade inicial e a velocidade final. Matemáticamente, isso significa:
Vamos demonstrar por que isso é verdade.
Passo 4
Considerando que a aceleração é constante, a velocidade varia de forma linear com o tempo. Isso implica que o deslocamento pode ser calculado como a área sob a curva de velocidade versus tempo, que, nesse caso, é um trapézio.
A área do trapézio é dada por:
Mas pelo enunciado, deslocamento também é:
Passo 5
Igualando as duas expressões para o deslocamento:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Resposta
A velocidade média é dada por: