Para o caso subcrítico ( gamma/2 < omega0), apresente a solução transiente x(t) e a expressão para omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício sobre sistemas oscilatórios, especificamente no caso subcrítico onde gamma/2 < omega0. Isso está relacionado a movimentos oscilatórios amortecidos, tipo um pêndulo que perde energia com o tempo. A gente vai precisar usar as equações de movimento para oscilações amortecidas e entender como encontrar a solução transiente x(t) e a expressão para omega.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador harmônico amortecido:
ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0
Aqui, ddotx é a aceleração, dotx é a velocidade, gamma é o coeficiente de amortecimento e omega0 é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 3

Para resolver essa equação, assumimos uma solução do tipo x(t) = e^rt, onde r é um número complexo que vamos determinar. Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^rt + gamma r e^rt + omega0^2 e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + gamma r + omega0^2 = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática para r:
r = -gamma pm raizgamma^2 - 4omega0^22
Para o caso subcrítico, sabemos que gamma/2 < omega0, o que significa que gamma^2 - 4omega0^2 < 0. Portanto, as raízes serão complexas.

Passo 5

Vamos representar as raízes como r = alpha pm ibeta, onde:
alpha = -gamma2
beta = raizomega0^2 - (gamma2)^2 = omega
Aqui, omega é a frequência amortecida do sistema.

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo alpha e beta:
x(t) = e^-gamma2 t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) )

Passo 7

Essa é a solução transiente x(t). A parte exponencial e^-gamma2 t mostra como a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. As funções trigonométricas representam as oscilações com a frequência omega.

Passo 8

Agora, para a expressão de omega:
omega = raizomega0^2 - (gamma2)^2
Essa fórmula nos dá a frequência das oscilações amortecidas no caso subcrítico.

Resposta

A solução transiente é
x(t) = e^-gamma2 t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) )
e a frequência omega é
omega = raizomega0^2 - (gamma2)^2

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