Para o caso subcrítico (
), apresente a solução transiente
e a expressão para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício sobre sistemas oscilatórios, especificamente no caso subcrítico onde
. Isso está relacionado a movimentos oscilatórios amortecidos, tipo um pêndulo que perde energia com o tempo. A gente vai precisar usar as equações de movimento para oscilações amortecidas e entender como encontrar a solução transiente
e a expressão para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador harmônico amortecido:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade,
é o coeficiente de amortecimento e
é a frequência natural do sistema sem amortecimento.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número complexo que vamos determinar. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática para
:
Para o caso subcrítico, sabemos que
, o que significa que
. Portanto, as raízes serão complexas.
Passo 5
Vamos representar as raízes como
, onde:
Aqui,
é a frequência amortecida do sistema.
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Passo 7
Essa é a solução transiente
. A parte exponencial
mostra como a amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento. As funções trigonométricas representam as oscilações com a frequência
.
Passo 8
Agora, para a expressão de
:
Essa fórmula nos dá a frequência das oscilações amortecidas no caso subcrítico.
Resposta
A solução transiente é
e a frequência
é