Escreva a equação do oscilador amortecido e forçado para uma função complexa
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a equação de um oscilador amortecido e forçado para uma função complexa $ z(t) $. Isso envolve conceitos de física de osciladores, como massa, amortecimento e força externa. Para resolver, vamos precisar entender como cada um desses componentes entra na equação do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação básica de um oscilador harmônico simples sem amortecimento nem força externa:
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante elástica e $ x(t) $ é a posição.
Passo 3
Agora, vamos adicionar o amortecimento. O amortecimento representa uma força que é proporcional à velocidade e atua contra o movimento, geralmente modelada por $ c \frac{dx}{dt} $, onde $ c $ é o coeficiente de amortecimento. A equação fica:
Passo 4
Em seguida, incluímos a força externa que está empurrando o sistema, representada por $ F(t) $. Isso transforma a equação em:
Passo 5
Como a questão pede para expressar tudo em termos de uma função complexa $ z(t) $, vamos generalizar a equação para uso de números complexos. Substituímos $ x(t) $ por $ z(t) $, mantendo a mesma estrutura:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ m $ para facilitar, definindo $ \gamma = \frac{c}{m} $ e $ \omega_0^2 = \frac{k}{m} $. Assim, a equação fica:
Resposta
A equação do oscilador amortecido e forçado para uma função complexa $ z(t) $ é: