Em muitos casos, ao olhar a função na qual deseja calcular o limite, se substituir o valor a que x está tendendo, cairá em uma indeterminação. Por isso, faz-se necessário aplicar técnicas que proporcionem resolver o limite sem cair na indeterminação. Resolva lim x → 1 da fração (x² + x - 2) / (x² - x) e assinale a alternativa que corresponde ao resultado.
a) 1.
b) 3.
c) 0.
d) 2.
e) -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx to 1 x^2 + x - 2x^2 - x. Aqui, estamos lidando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver limites desse tipo, às vezes, a substituição direta do valor que x está tendendo pode dar uma indeterminação, tipo 0/0. Por isso, precisamos usar técnicas de simplificação, como fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 na função para ver o que acontece:
1^2 + 1 - 21^2 - 1 = 1 + 1 - 21 - 1 = 00
Como vimos, isso dá uma indeterminação 0/0. Então, precisamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^2 + x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 4

Agora, fatoramos o denominador x^2 - x:
x^2 - x = x(x - 1)

Passo 5

Substituímos as fatorações na expressão original:
(x + 2)(x - 1)x(x - 1)
Agora, podemos simplificar o termo comum (x - 1) no numerador e no denominador:
x + 2x

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada x + 2x, podemos substituir x = 1 sem problemas:
1 + 21 = 31 = 3

Resposta

A alternativa correta é b) 3.

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