Seja dado um conjunto de pontos reais quaisquer { (xi, y) | i=1,2,3,4 }, num intervalo [a,b]. Considere as seguintes afirmações:
  1. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange P3(x) de grau 3, ou fazer o ajuste por um polinômio de grau 3, os resultados para um ponto x diferente dos pontos dados, dois a dois, são os mesmos.
    I. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange Ps(x) de grau 3 produz um resultado, em geral, diferente do ajuste por um polinômio de grau 3, tanto para os pontos tabelados como outros pontos dentro do intervalo [a,b].
    III. O valor do polinômio interpolador de Lagrange no ponto x1, dado por Ps(x1), é igual a y1. Qual alternativa abaixo está correta?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem quatro pontos quaisquer (xi, y) num intervalo [a, b]. A pergunta fala sobre duas maneiras de encaixar um polinômio de grau 3 nesses pontos:
  1. Interpolação usando o polinômio de Lagrange P3(x).
  2. Ajuste por um polinômio de grau 3.
A gente precisa analisar três afirmações sobre essas técnicas e ver qual delas está correta. Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação, ajuste de curva e como funciona o polinômio de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre interpolação. Interpolação é quando a gente encontra um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. No nosso caso, o polinômio de Lagrange P3(x) é usado para isso. Ele garante que, para cada xi, P3(xi) = yi.
Já o ajuste de curva (ou regressão polinomial) tenta encontrar um polinômio que “melhor se ajusta” aos pontos, mas sem garantir que passa exatamente por todos eles. Esse método é útil quando os dados têm algum ruído ou não seguem exatamente uma tendência polinomial.

Passo 3

Agora, vamos analisar as afirmações:
  1. Afirmação 1: Dizer que interpolar com P3(x) de Lagrange ou ajustar com um polinômio de grau 3 dá o mesmo resultado para pontos diferentes dos dados.
    Análise: Interpolação e ajuste são métodos diferentes. A interpolação passa exatamente pelos pontos, enquanto o ajuste minimiza os erros. Portanto, para pontos fora dos dados, os resultados geralmente são diferentes.
  2. Afirmação I: Interpolar com Ps(x) de Lagrange produz, em geral, um resultado diferente do ajuste, tanto para os pontos dados quanto para outros pontos no intervalo.
    Análise: Correto! A interpolação passa exatamente pelos pontos, enquanto o ajuste pode não passar. Além disso, para outros pontos, os polinômios também podem se comportar de maneira diferente.
  3. Afirmação III: O valor do polinômio interpolador de Lagrange no ponto x1, Ps(x1), é igual a y1.
    Análise: Isso é verdadeiro. Por definição, o polinômio interpolador passa exatamente por todos os pontos dados, então Ps(xi) = yi para cada i.

Resposta

A alternativa correta é que apenas a afirmação III é verdadeira.

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