Os catetos de um triângulo retângulo estão na proporção 2:1. Determine as medidas desses catetos sabendo que a hipotenusa do triângulo mede 8√5 cm e a altura relativa a ela mede √256/5 cm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo onde os catetos estão na proporção 2:1. A hipotenusa mede
cm e a altura relativa a ela mede
cm. O conteúdo que vamos usar aqui envolve proporções, teorema de Pitágoras e propriedades das alturas em triângulos retângulos. Precisamos encontrar as medidas dos dois catetos.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os catetos de
e
, já que eles estão na proporção 2:1. Aqui,
representa uma unidade básica que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Então temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar os catetos:
Resposta
Os catetos medem 16 cm e 8 cm.