Os catetos de um triângulo retângulo estão na proporção 2:1. Determine as medidas desses catetos sabendo que a hipotenusa do triângulo mede 8√5 cm e a altura relativa a ela mede √256/5 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo onde os catetos estão na proporção 2:1. A hipotenusa mede 8raiz5 cm e a altura relativa a ela mede raiz2565 cm. O conteúdo que vamos usar aqui envolve proporções, teorema de Pitágoras e propriedades das alturas em triângulos retângulos. Precisamos encontrar as medidas dos dois catetos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os catetos de 2x e x, já que eles estão na proporção 2:1. Aqui, x representa uma unidade básica que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Então temos:
(2x)^2 + x^2 = (8raiz5)^2

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
4x^2 + x^2 = 64 times 5
5x^2 = 320

Passo 5

Agora, resolvemos para x^2:
x^2 = 3205 = 64

Passo 6

Tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar x:
x = raiz64 = 8 cm

Passo 7

Agora que temos x, podemos encontrar os catetos:
Cateto maior = 2x = 2 times 8 = 16 cm
Cateto menor = x = 8 cm

Resposta

Os catetos medem 16 cm e 8 cm.

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