Um cavalheiro A, de massa mA=0,15 kg, move-se sobre um trilho de ar sem atrito e colide frontalmente com um cavaleiro B, de massa mB=0,3 kg, que se move com velocidade de 2,2 m / s da direita para a esquerda após a colisão. Sabendo-se que a colisão é elástica e que, após a colisão, o cavaleiro A se movimenta a 3,2 m / s da direita para a esquerda:
a) (Vale 12,5 pontos) Calcule a velocidade do cavaleiro A antes da colisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de colisão entre dois cavalheiros, A e B, que andam em um trilho sem atrito. Sabemos as massas deles e as velocidades após a colisão, e a colisão é elástica. O que a gente precisa descobrir é qual era a velocidade do cavalheiro A antes da colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento e conservação de energia cinética, que são fundamentais em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Isso nos dá duas equações que podemos usar para encontrar a velocidade desconhecida.

Passo 3

Vamos começar com a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento é dada pela massa vezes a velocidade. A equação fica assim:
mA cdot vA + mB cdot vB = mA cdot vA' + mB cdot vB'
Onde:
  • (massa do cavalheiro A)
  • (massa do cavalheiro B)
  • é a velocidade inicial de A, que queremos encontrar
  • é a velocidade inicial de B (não foi dada, mas como B está se movendo após a colisão, vamos considerar que inicialmente estava parado)
  • (velocidade de A após a colisão, negativa porque vai para a esquerda)
  • (velocidade de B após a colisão, também para a esquerda)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia cinética é dada por 12 mA vA^2 + 12 mB vB^2 = 12 mA vA'^2 + 12 mB vB'^2 . A equação fica:
Mas, como não conhecemos , isso pode complicar. Então, uma abordagem mais simples para colisões elásticas é usar fórmulas específicas que relacionam as velocidades antes e depois da colisão.

Passo 5

Em uma colisão elástica, as velocidades após a colisão podem ser expressas em termos das velocidades antes da colisão pelas seguintes fórmulas:
vA' = (mA - mB) vA + 2 mB vBmA + mB
vB' = (mB - mA) vB + 2 mA vAmA + mB
Como nos foi dado e , podemos usar uma dessas equações para encontrar . Vamos escolher a primeira equação para resolver .

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver vA' = (mA - mB) vA + 2 mB vBmA + mB :
vA' (mA + mB) = (mA - mB) vA + 2 mB vB
Multiplicando ambos os lados por (mA - mB) vA = vA' (mA + mB) - 2 mB vB :
vA = vA' (mA + mB) - 2 mB vBmA - mB
Agora, vamos isolar :

Passo 7

Precisamos agora de mais informações para resolver completamente. Vamos assumir que antes da colisão, o cavalheiro B estava parado, ou seja, vA = vA' (mA + mB)mA - mB . Isso faz sentido, já que só foi dada a velocidade de B após a colisão.
Substituindo vA' = -3,2 , m/s na equação:
mA = 0,15 , kg
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
mB = 0,3 , kg

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
vA = (-3,2) (0,15 + 0,3)0,15 - 0,3
Calculando o denominador:
0,15 - 0,3 = -0,15 , kg
Calculando o numerador:
(-3,2) (0,45) = -1,44 , kg cdot m/s
Agora, dividindo:
vA = -1,44-0,15 = 9,6 , m/s

Resposta

A velocidade do cavaleiro A antes da colisão era de 9,6 metros por segundo para a direita.

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