Cbter a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre ur reta obedecendo à equação horária
, com
. (Unid
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a velocidade e a aceleração de um ponto que se move ao longo de uma reta, com a posição dada pela equação horária:
Aqui,
é um número real. Para encontrar a velocidade e a aceleração, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade (
). A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
em relação a
:
Vamos derivar
usando a regra do produto, já que temos um produto de duas funções:
e
.
A regra do produto diz que:
Aplicando isso:
-
, então -
, então
Substituindo na regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração (
). A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
em relação a
:
Temos:
Vamos derivar essa expressão. Novamente, usamos a regra do produto para
e
.
Derivando:
-
, então -
, então
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
A velocidade é:
E a aceleração é: