Cbter a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre ur reta obedecendo à equação horária s = a * e^(-t) * cos(t), com a em R. (Unid

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a velocidade e a aceleração de um ponto que se move ao longo de uma reta, com a posição dada pela equação horária:
Aqui, a é um número real. Para encontrar a velocidade e a aceleração, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade ( v). A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de s em relação a t:
Vamos derivar usando a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: e^(-t) e cos(t).
A regra do produto diz que:
Aplicando isso:
  • , então
  • , então
Substituindo na regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração ( a). A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de v em relação a t:
Temos:
Vamos derivar essa expressão. Novamente, usamos a regra do produto para e^(-t) e .
Derivando:
  • , então
  • , então
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A velocidade é:
E a aceleração é:

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