Calcular a derivada da função f(x) = (sen x + e^x)^2 (cos x + x^3)^3 no

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas e usando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar dessas regras para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes principais da nossa função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
Como , vamos usar a Regra do Produto para derivar .

Passo 3

A Regra do Produto diz que a derivada de é:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos começar calculando . Temos:
Aqui, aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de é . No nosso caso, e .
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
Mais uma vez, usamos a Regra da Cadeia. Aqui, e .
Então,
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos fatorar alguns termos para deixar a expressão mais limpa:

Resposta

A derivada da função é:

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