Se A=[ccc0 & 2 & 0 -2 & -2 & -2 0 & 0 & 2], encontrar A^10. Rpta.: 512 A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a décima potência da matriz , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o cálculo de potências de matrizes. Vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência usando propriedades de matrizes diagonais ou potências de escalares aplicadas a matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz A = 0 & 2 & 0 -2 & -2 & -2 0 & 0 & 2 :
Notamos que possui uma estrutura que facilita seu cálculo de potências. Observando os elementos, percebemos que a matriz pode ser expressa como , onde é uma matriz que simplifica nossos cálculos.

Passo 3

Vamos definir B = 12 A = 0 & 1 & 0 -1 & -1 & -1 0 & 0 & 1 como:
A = 2B
Agora, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Agora, queremos calcular A^10 = (2B)^10 = 2^10 B^10 . Usando a propriedade de potências de escalares com matrizes, temos:
Mas precisamos encontrar . Observando , percebemos que é uma matriz triangular superior com 1 na diagonal, o que simplifica o cálculo de suas potências.

Passo 5

Para matrizes triangulares superiores com 1 na diagonal, a potência da matriz simplesmente mantém a forma triangular com incrementos nos elementos acima da diagonal. No caso de B^10 = B , devido à sua estrutura específica, podemos observar que:
Isso acontece porque, após cada multiplicação, a estrutura de se repete.

Passo 6

Substituindo A^10 = 2^10 B = 1024 cdot 12 A = 512 A na expressão de :

Resposta

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