Sejam A=[rrr1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4] e X=[lx y z]. Encontre a solução geral do sistema A X=-4 X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema A = 1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4 . Esse tipo de problema está relacionado com valores e vetores próprios de uma matriz. Aqui, a matriz X = x y z é dada por:
E o vetor é:
O que precisamos fazer é encontrar todos os vetores que satisfazem essa equação, ou seja, os vetores próprios de associados ao valor próprio .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação A X + 4 X = 0 de forma mais conveniente. Podemos trazer tudo para um lado:
(A + 4 I) X = 0
Isso é o mesmo que:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aqui, A + 4 I = 1+4 & 0 & 5 1 & 1+4 & 1 0 & 1 & -4+4 = 5 & 0 & 5 1 & 5 & 1 0 & 1 & 0 é a matriz identidade de ordem 3:
5 & 0 & 5 1 & 5 & 1 0 & 1 & 0 x y z = 0 0 0
Então, vamos somar 4 vezes a matriz identidade com a matriz :
Agora, temos o sistema homogêneo:

[


]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Escrevendo as equações:

Passo 4

Sabemos que x + 5(0) + z = 0 Rightarrow x + z = 0 e X = x y z = -z 0 z = z -1 0 1 . Vamos substituir na segunda equação:
Isso confirma que . Então, podemos expressar o vetor em termos de :

Resposta

A solução geral do sistema -1 0 1 é todo vetor múltiplo de X = z -1 0 1 , onde z in R . Ou seja,

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