Determine uma equação da elipse de excentricidade igual a
e com eixo maior coincidindo com o latus rectum da parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade igual a
e cujo eixo maior está coincidindo com o latus rectum de uma parábola dada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de seções cônicas, como elipses, parábolas, eixo maior e latus rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o latus rectum de uma parábola. O latus rectum é uma linha perpendicular ao eixo da parábola que passa pelo foco e tem comprimento igual a
, onde
é a distância do vértice ao foco da parábola.
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação da parábola em uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é
. Para isso, completamos o quadrado em relação a
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Agora, identificamos os parâmetros da parábola. A forma padrão da parábola com eixo paralelo ao eixo
é
, onde
é o vértice. Comparando com a nossa equação
, vemos que:
- Vértice:
-
- O foco está a uma distância
unidades do vértice. - Portanto, o foco está em
.
Passo 5
O latus rectum tem comprimento
, então:
Como o eixo maior da elipse coincide com o latus rectum da parábola, ele terá comprimento 8 e estará alinhado horizontalmente, já que o latus rectum está paralelo ao eixo
.
Passo 6
Sabemos que a excentricidade
da elipse é
. A relação entre a excentricidade, o semieixo maior
e o semieixo menor
da elipse é:
Onde
. Mas primeiro, sabemos que o comprimento do eixo maior é
, então:
Usando a excentricidade:
Agora, encontramos
:
Resposta
Portanto, a equação da elipse é: