Determine uma equação da elipse de excentricidade igual a raiz3 / 2 e com eixo maior coincidindo com o latus rectum da parábola de equação y^2-4 y-8 x+28=0.
(y-2)^216+(x-5)^24=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade igual a e cujo eixo maior está coincidindo com o latus rectum de uma parábola dada pela equação . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de seções cônicas, como elipses, parábolas, eixo maior e latus rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o latus rectum de uma parábola. O latus rectum é uma linha perpendicular ao eixo da parábola que passa pelo foco e tem comprimento igual a , onde é a distância do vértice ao foco da parábola.

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação da parábola em uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 . Para isso, completamos o quadrado em relação a (y - 2)^2 - 4 - 8x + 28 = 0 (y - 2)^2 - 8x + 24 = 0 8x = (y - 2)^2 + 24 x = 18(y - 2)^2 + 3 :
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Agora, identificamos os parâmetros da parábola. A forma padrão da parábola com eixo paralelo ao eixo é , onde é o vértice. Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • Vértice:
  • O foco está a uma distância unidades do vértice.
  • Portanto, o foco está em .

Passo 5

O latus rectum tem comprimento 4p = 4 times 2 = 8 , então:
Como o eixo maior da elipse coincide com o latus rectum da parábola, ele terá comprimento 8 e estará alinhado horizontalmente, já que o latus rectum está paralelo ao eixo .

Passo 6

Sabemos que a excentricidade e = ca da elipse é a = 4 . A relação entre a excentricidade, o semieixo maior raiz32 = c4 c = 4 times raiz32 = 2raiz3 e o semieixo menor c = raiza^2 - b^2 2raiz3 = raiz16 - b^2 (2raiz3)^2 = 16 - b^2 12 = 16 - b^2 b^2 = 16 - 12 = 4 b = 2 da elipse é:
Onde . Mas primeiro, sabemos que o comprimento do eixo maior é , então:
Usando a excentricidade:
Agora, encontramos :

Resposta

Portanto, a equação da elipse é:
(x - 5)^216 + (y - 2)^24 = 1

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