Sejam as matrizes e B=[ccc1 & 3 & 0 -2 & 1 & -2 0 & -1 & 4]. Se C=(A B)^t-B, encontrar o valor da soma S=c21+c31+c23. Rpta.: S=24.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve operações com matrizes. Temos duas matrizes e , e precisamos encontrar uma terceira matriz definida por . Depois disso, vamos calcular a soma dos elementos específicos da matriz , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes, calcular a transposta de uma matriz e realizar subtrações entre matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A = 0 & -1 & 3 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 , B = 1 & 3 & 0 -2 & 1 & -2 0 & -1 & 4 e (A times B)11 = (0 times 1) + (-1 times -2) + (3 times 0) = 0 + 2 + 0 = 2 . A multiplicação de duas matrizes (A times B)12 = (0 times 3) + (-1 times 1) + (3 times -1) = 0 - 1 - 3 = -4 de dimensão (A times B)13 = (0 times 0) + (-1 times -2) + (3 times 4) = 0 + 2 + 12 = 14 e (A times B)21 = (2 times 1) + (1 times -2) + (0 times 0) = 2 - 2 + 0 = 0 de dimensão (A times B)22 = (2 times 3) + (1 times 1) + (0 times -1) = 6 + 1 + 0 = 7 resulta em uma matriz (A times B)23 = (2 times 0) + (1 times -2) + (0 times 4) = 0 - 2 + 0 = -2 de dimensão (A times B)31 = (3 times 1) + (2 times -2) + (1 times 0) = 3 - 4 + 0 = -1 . Cada elemento (A times B)32 = (3 times 3) + (2 times 1) + (1 times -1) = 9 + 2 - 1 = 10 da matriz resultante é calculado somando o produto dos elementos da linha (A times B)33 = (3 times 0) + (2 times -2) + (1 times 4) = 0 - 4 + 4 = 0 de A times B = 2 & -4 & 14 0 & 7 & -2 -1 & 10 & 0 pelos elementos da coluna de .
Vamos calcular :
Calculando cada elemento de :
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta da matriz (A times B)^t = 2 & 0 & -1 -4 & 7 & 10 14 & -2 & 0 , que é representada por . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, o elemento da linha e coluna na matriz original passa para a linha e coluna na matriz transposta.
Passo 4
Em seguida, vamos subtrair a matriz C = (A times B)^t - B = 2 & 0 & -1 -4 & 7 & 10 14 & -2 & 0 - 1 & 3 & 0 -2 & 1 & -2 0 & -1 & 4 da transposta de C11 = 2 - 1 = 1 para obter a matriz C12 = 0 - 3 = -3 :
C13 = -1 - 0 = -1
Para subtrair duas matrizes, subtraímos elemento por elemento:
C21 = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2
C22 = 7 - 1 = 6
C23 = 10 - (-2) = 10 + 2 = 12
C31 = 14 - 0 = 14
C32 = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1
C33 = 0 - 4 = -4
C = 1 & -3 & -1 -2 & 6 & 12 14 & -1 & -4
Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos identificar os elementos específicos da matriz que serão somados: