Um CD sobre o plano x-y girando em torno de seu eixo de simetria, perpendicular ao plano x-y, possui aceleração angular de -3 pi rad cdot s^-2. Em t=0 uma linha radial P Q possui theta0=0 e sua velocidade angular é omega0=8 pi rad cdot s^-1. Calcule a velocidade angular em t=2 s e o número de revoluções realizadas ao final deste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um CD girando no plano x-y, com aceleração angular constante de . No tempo inicial , uma linha radial está na posição e a velocidade angular inicial é . Precisamos descobrir qual será a velocidade angular após 2 segundos e quantas voltas o CD terá dado nesse período. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente as equações que relacionam aceleração angular, velocidade angular e ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular depois de 2 segundos. A velocidade angular em qualquer instante omega(t) = omega0 + alpha t pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a velocidade angular no tempo ,
  • é a velocidade angular inicial,
  • é a aceleração angular,
  • é o tempo.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
omega(2) = 8pi , rad/s + (-3pi , rad/s^2) times 2 , s
omega(2) = 8pi - 6pi = 2pi , rad/s
Então, a velocidade angular após 2 segundos é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de revoluções que o CD fez nesses 2 segundos. Para isso, precisamos encontrar o ângulo total theta = omega0 t + 12 alpha t^2 que o CD girou nesse tempo e depois converter esse ângulo em revoluções.
A fórmula para o ângulo total quando a aceleração angular é constante é:

Passo 5

Substituindo os valores:
theta = 8pi times 2 + 12 times (-3pi) times (2)^2
theta = 16pi + 12 times (-3pi) times 4
theta = 16pi - 6pi = 10pi , rad

Passo 6

Cada revolução completa corresponde a N = theta2pi = 10pi2pi = 5 radianos. Então, para encontrar o número de revoluções :

Resposta

Após 2 segundos, a velocidade angular do CD é e o CD realizou 5 revoluções nesse intervalo de tempo.

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