Uma esfera maciça e homogênea, de raio desprezível, é solta, a partir do repouso, de uma rampa de comprimento L com inclinação theta. Qual o módulo da velocidade do centro de massa da esfera ao final da rampa? Calcule em função de L e theta e considere que a esfera role sem deslizar.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera maciça e homogênea, que tem um raio muito pequeno (desprezível), sendo solta do repouso em uma rampa inclinada com comprimento e ângulo de inclinação . Queremos descobrir a velocidade da esfera ao final da rampa, considerando que ela rola sem deslizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática de rotação, energia mecânica e equilíbrio de forças. Vamos usar a conservação da energia, que relaciona energia potencial e energia cinética no movimento da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia que a esfera possui no início e no final da rampa. No início, a esfera está parada, então sua energia cinética é zero, e ela tem energia potencial gravitacional.
A energia potencial inicial ( Ep,i = mgh ) é dada por:
h = L sin theta
onde:
  • Ep,i = mgL sin theta é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura da rampa.
Como a rampa tem comprimento e está inclinada em um ângulo , a altura pode ser encontrada usando:
Então, substituindo:

Passo 3

No final da rampa, a esfera terá energia cinética que é a soma da energia cinética de translação ( Ec,t = 12mv^2 ) e da energia cinética de rotação ( Ec,r = 12Iomega^2 ).
A energia cinética de translação é:
I = 25mr^2
e a energia cinética de rotação é:
v = omega r Rightarrow omega = vr
onde:
  • Ec,r = 12 cdot 25mr^2 cdot (vr)^2 = 15mv^2 é a velocidade do centro de massa,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a velocidade angular.
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como a esfera rola sem deslizar, temos a relação entre e :
Substituindo na energia cinética de rotação:

Passo 4

A energia total no final da rampa ( Ef = Ec,t + Ec,r = 12mv^2 + 15mv^2 = 710mv^2 ) é:
mgL sin theta = 710mv^2
Pela conservação da energia, a energia inicial é igual à energia final:
gL sin theta = 710v^2
Podemos cancelar a massa dos dois lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver para v^2 = 107gL sin theta :
v = raiz107gL sin theta

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera ao final da rampa é
v = raiz107 , g , L , sin theta

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