Uma esfera maciça e homogênea, de raio desprezível, é solta, a partir do repouso, de uma rampa de comprimento com inclinação . Qual o módulo da velocidade do centro de massa da esfera ao final da rampa? Calcule em função de e e considere que a esfera role sem deslizar.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera maciça e homogênea, que tem um raio muito pequeno (desprezível), sendo solta do repouso em uma rampa inclinada com comprimento e ângulo de inclinação . Queremos descobrir a velocidade da esfera ao final da rampa, considerando que ela rola sem deslizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática de rotação, energia mecânica e equilíbrio de forças. Vamos usar a conservação da energia, que relaciona energia potencial e energia cinética no movimento da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia que a esfera possui no início e no final da rampa. No início, a esfera está parada, então sua energia cinética é zero, e ela tem energia potencial gravitacional.
A energia potencial inicial ( ) é dada por:
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura da rampa.
Como a rampa tem comprimento e está inclinada em um ângulo , a altura pode ser encontrada usando:
Então, substituindo:

Passo 3

No final da rampa, a esfera terá energia cinética que é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ).
A energia cinética de translação é:
e a energia cinética de rotação é:
onde:
  • é a velocidade do centro de massa,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a velocidade angular.
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como a esfera rola sem deslizar, temos a relação entre e :
Substituindo na energia cinética de rotação:

Passo 4

A energia total no final da rampa ( ) é:
Pela conservação da energia, a energia inicial é igual à energia final:
Podemos cancelar a massa dos dois lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera ao final da rampa é

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