Um raio vetor de comprimento
, restrito ao plano
, gira com velocidade angular inicial
e aceleração angular
, a qual é constante. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a zero, encontre os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração, em função de
e
(note que
e
podem ter qualquer sinal e isso indicará o sentido do vetor). Em
, quais são estes vetores se
,
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento rotacional aqui. Basicamente, um vetor de comprimento
está girando no plano
com uma velocidade angular inicial
e uma aceleração angular constante
. No começo, o vetor está alinhado com o eixo
(posição angular zero). Nosso objetivo é encontrar:
- O vetor velocidade angular em função do tempo.
- O vetor velocidade linear.
- O vetor aceleração.
Depois, queremos saber esses vetores especificamente no tempo
segundos, com
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática rotacional, que envolve conceitos como velocidade angular, aceleração angular, e como eles se relacionam com a velocidade e aceleração lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade angular (
) é a taxa de variação do ângulo de rotação com o tempo. Se a aceleração angular (
) é constante, a velocidade angular em qualquer instante
é dada por:
Aqui,
é a velocidade angular inicial, e
é o aumento (ou diminuição, se
for negativo) da velocidade angular ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição angular (
) do vetor em função do tempo. Como a aceleração angular é constante, a posição angular pode ser obtida integrando a velocidade angular:
Sabemos que no instante inicial (
),
, então simplificamos para:
Passo 4
Com a posição angular em mãos, podemos determinar os vetores velocidade linear (
) e aceleração linear (
).
A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Onde
é o vetor unitário tangente à trajetória no ponto onde está o vetor posição. No plano
, se o vetor posição está fazendo um ângulo
com o eixo
, então:
Portanto,
Passo 5
Para a aceleração linear, temos duas componentes: a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
- Aceleração Tangencial (
):
Usando o mesmo
de antes,
- Aceleração Centrípeta (
):
Onde
é o vetor unitário radial, dado por:
Portanto,
A aceleração total (
) é a soma das duas componentes:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os valores específicos para encontrar os vetores no instante
segundos:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Como
rad é equivalente a
voltas completas (cada volta é
rad), podemos simplificar
para
rad, já que a posição angular se repete a cada volta.
Passo 7
Agora, substituímos
rad na expressão dos vetores:
Velocidade Angular:
(O vetor velocidade angular está na direção perpendicular ao plano
, que é o eixo
, representado por
.)
Velocidade Linear:
Aceleração Tangencial:
Aceleração Centrípeta:
Aceleração Total:
Resposta
No instante
segundos, com
,
e
, os vetores são:
-
Velocidade Angular:
-
Velocidade Linear:
-
Aceleração Linear: