Um raio vetor de comprimento , restrito ao plano , gira com velocidade angular inicial e aceleração angular , a qual é constante. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a zero, encontre os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração, em função de e (note que e podem ter qualquer sinal e isso indicará o sentido do vetor). Em , quais são estes vetores se , ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento rotacional aqui. Basicamente, um vetor de comprimento está girando no plano com uma velocidade angular inicial e uma aceleração angular constante . No começo, o vetor está alinhado com o eixo (posição angular zero). Nosso objetivo é encontrar:
  1. O vetor velocidade angular em função do tempo.
  2. O vetor velocidade linear.
  3. O vetor aceleração.
Depois, queremos saber esses vetores especificamente no tempo segundos, com , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática rotacional, que envolve conceitos como velocidade angular, aceleração angular, e como eles se relacionam com a velocidade e aceleração lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade angular ( ) é a taxa de variação do ângulo de rotação com o tempo. Se a aceleração angular ( ) é constante, a velocidade angular em qualquer instante é dada por:
Aqui, é a velocidade angular inicial, e é o aumento (ou diminuição, se for negativo) da velocidade angular ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição angular ( ) do vetor em função do tempo. Como a aceleração angular é constante, a posição angular pode ser obtida integrando a velocidade angular:
Sabemos que no instante inicial ( ), , então simplificamos para:

Passo 4

Com a posição angular em mãos, podemos determinar os vetores velocidade linear ( ) e aceleração linear ( ).
A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Onde é o vetor unitário tangente à trajetória no ponto onde está o vetor posição. No plano , se o vetor posição está fazendo um ângulo com o eixo , então:
Portanto,

Passo 5

Para a aceleração linear, temos duas componentes: a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
  1. Aceleração Tangencial ( ):
Usando o mesmo de antes,
  1. Aceleração Centrípeta ( ):
Onde é o vetor unitário radial, dado por:
Portanto,
A aceleração total ( ) é a soma das duas componentes:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os valores específicos para encontrar os vetores no instante segundos:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Como rad é equivalente a voltas completas (cada volta é rad), podemos simplificar para rad, já que a posição angular se repete a cada volta.

Passo 7

Agora, substituímos rad na expressão dos vetores:
Velocidade Angular:
(O vetor velocidade angular está na direção perpendicular ao plano , que é o eixo , representado por .)
Velocidade Linear:
Aceleração Tangencial:
Aceleração Centrípeta:
Aceleração Total:

Resposta

No instante segundos, com , e , os vetores são:
  • Velocidade Angular:
  • Velocidade Linear:
  • Aceleração Linear:

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