Um raio vetor de comprimento R, restrito ao plano x y, gira com velocidade angular inicial omega0 e aceleração angular alpha, a qual é constante. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a zero, encontre os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração, em função de R, omega0, alpha e t (note que omega0 e alpha podem ter qualquer sinal e isso indicará o sentido do vetor). Em t=2 s, quais são estes vetores se R=1 m, omega0=2 pi rad cdot s^-1, alpha=pi rad cdot s^-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento rotacional aqui. Basicamente, um vetor de comprimento está girando no plano com uma velocidade angular inicial e uma aceleração angular constante . No começo, o vetor está alinhado com o eixo (posição angular zero). Nosso objetivo é encontrar:
  1. O vetor velocidade angular em função do tempo.
  2. O vetor velocidade linear.
  3. O vetor aceleração.
Depois, queremos saber esses vetores especificamente no tempo segundos, com , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática rotacional, que envolve conceitos como velocidade angular, aceleração angular, e como eles se relacionam com a velocidade e aceleração lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade angular ( omega(t) = omega0 + alpha t ) é a taxa de variação do ângulo de rotação com o tempo. Se a aceleração angular ( ) é constante, a velocidade angular em qualquer instante é dada por:
Aqui, é a velocidade angular inicial, e é o aumento (ou diminuição, se for negativo) da velocidade angular ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição angular ( theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2 ) do vetor em função do tempo. Como a aceleração angular é constante, a posição angular pode ser obtida integrando a velocidade angular:
theta(t) = omega0 t + 12 alpha t^2
Sabemos que no instante inicial ( ), , então simplificamos para:

Passo 4

Com a posição angular em mãos, podemos determinar os vetores velocidade linear ( v = R omega(t) , t ) e aceleração linear ( t = -sin(theta(t)) , i + cos(theta(t)) , j ).
A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
v = R (omega0 + alpha t) [-sin(theta(t)) , i + cos(theta(t)) , j]
Onde é o vetor unitário tangente à trajetória no ponto onde está o vetor posição. No plano , se o vetor posição está fazendo um ângulo com o eixo , então:
Portanto,

Passo 5

Para a aceleração linear, temos duas componentes: a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
  1. Aceleração Tangencial ( at = R alpha , t ):
at = R alpha [-sin(theta(t)) , i + cos(theta(t)) , j]
Usando o mesmo ac = -R omega(t)^2 , r de antes,
r = cos(theta(t)) , i + sin(theta(t)) , j
  1. Aceleração Centrípeta ( ac = -R (omega0 + alpha t)^2 [cos(theta(t)) , i + sin(theta(t)) , j] ):
a = at + ac
Onde é o vetor unitário radial, dado por:
Portanto,
A aceleração total ( ) é a soma das duas componentes:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os valores específicos para encontrar os vetores no instante omega(2) = 2pi + pi times 2 = 2pi + 2pi = 4pi , rad/s segundos:
  • theta(2) = 2pi times 2 + 12 times pi times (2)^2 = 4pi + 2pi = 6pi , rad
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Como rad é equivalente a voltas completas (cada volta é rad), podemos simplificar para rad, já que a posição angular se repete a cada volta.

Passo 7

Agora, substituímos omega = omega(2) , k = 4pi , k rad na expressão dos vetores:
Velocidade Angular:
v = 1 times 4pi [-sin(0) , i + cos(0) , j] = 4pi [0 , i + 1 , j] = 4pi , j , m/s
(O vetor velocidade angular está na direção perpendicular ao plano at = 1 times pi [-sin(0) , i + cos(0) , j] = pi [0 , i + 1 , j] = pi , j , m/s^2 , que é o eixo ac = -1 times (4pi)^2 [cos(0) , i + sin(0) , j] = -16pi^2 [1 , i + 0 , j] = -16pi^2 , i , m/s^2 , representado por a = pi , j - 16pi^2 , i = -16pi^2 , i + pi , j , m/s^2 .)
Velocidade Linear:
Aceleração Tangencial:
Aceleração Centrípeta:
Aceleração Total:

Resposta

No instante omega = 4pi , k , rad/s segundos, com v = 4pi , j , m/s , a = -16pi^2 , i + pi , j , m/s^2 e , os vetores são:
  • Velocidade Angular:
  • Velocidade Linear:
  • Aceleração Linear:

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