Uma bala de massa m=0,01 Kg e velocidade v=400 m cdot s^-1 atinge, perpendicularmente, o centro de uma porta de massa M=15 Kg e largura L=1 m, ficando alojada. A porta, que estava em repouso, passa a abrir-se. Não há atrito nas dobradiças. Encontre:
a) A velocidade angular do sistema bala+porta.
b) As energias cinéticas iniciais e finais do sistema. Discuta a conservação de energia.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui! Temos uma bala com massa m = 0,01 , kg e velocidade v = 400 , m/s que bate perpendicularmente no centro de uma porta com massa M = 15 , kg e largura L = 1 , m. Depois da colisão, a bala fica presa na porta, e a porta começa a girar sem atrito nas dobradiças. A gente vai precisar usar conceitos de momentum angular e energia cinética para resolver as partes a) e b). Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Encontrar a velocidade angular do sistema bala+porta
Primeiro, vamos pensar que antes da colisão, a porta está em repouso, então só a bala está em movimento. Quando a bala bate na porta e fica presa, o sistema bala+porta começa a girar. Como não tem atrito nas dobradiças, o momentum angular é conservado.
A fórmula do momentum angular ( L) é:
L = m cdot v cdot r
Onde:
  • m é a massa da bala
  • v é a velocidade da bala
  • r é a distância do ponto de impacto até o eixo de rotação (no caso, metade da largura da porta, L/2)
Depois da colisão, o momentum angular total será a soma do momentum angular da bala e da porta girando juntas. A fórmula para o momentum angular de um objeto em rotação é:
L = I cdot omega
Onde:
  • I é o momento de inércia
  • omega é a velocidade angular
Vamos calcular o momento de inércia da porta, que é uma placa retangular girando em torno de um eixo na borda:
Iporta = 13 M L^2
Como a bala fica presa na porta, ela também contribui para o momento de inércia:
Ibala = m cdot r^2
Então, o momento de inércia total é:
Itotal = Iporta + Ibala = 13 M L^2 + m r^2
Agora, pela conservação do momentum angular:
m cdot v cdot r = Itotal cdot omega
Isolando omega:
omega = m cdot v cdot r13 M L^2 + m r^2
Vamos substituir os valores:
  • m = 0,01 , kg
  • v = 400 , m/s
  • L = 1 , m, então r = L2 = 0,5 , m
  • M = 15 , kg
Substituindo:
omega = 0,01 cdot 400 cdot 0,513 cdot 15 cdot 1^2 + 0,01 cdot 0,5^2
Calculando o denominador:
13 cdot 15 = 5 0,01 cdot 0,25 = 0,0025 Total = 5 + 0,0025 = 5,0025
Agora:
omega = 25,0025 approx 0,3998 , rad/s

Passo 3

Parte b: Calcular as energias cinéticas iniciais e finais e discutir a conservação de energia
Primeiro, vamos achar a energia cinética inicial. Antes da colisão, só a bala está em movimento, então a energia cinética inicial ( KEi) é:
KEi = 12 m v^2
Substituindo:
KEi = 12 cdot 0,01 cdot 400^2 = 0,005 cdot 160000 = 800 , J
Agora, a energia cinética final ( KEf) é a energia de rotação do sistema bala+porta:
KEf = 12 Itotal omega^2
Já calculamos Itotal = 5,0025 , kg cdot m^2 e omega approx 0,3998 , rad/s.
Substituindo:
KEf = 12 cdot 5,0025 cdot (0,3998)^2 approx 12 cdot 5,0025 cdot 0,1598 approx 0,5 cdot 5,0025 cdot 0,1598 approx 0,4 , J
Discussão sobre a conservação de energia:
Vemos que a energia cinética inicial era de 800 , J e a final é de aproximadamente 0,4 , J. Isso mostra que muita energia foi perdida durante a colisão. Isso acontece porque a colisão foi inelástica, ou seja, a bala e a porta ficaram juntas após o impacto, e parte da energia foi dissipada em calor, som ou deformação da porta e da bala. Portanto, a energia mecânica não foi conservada, mesmo que o momentum angular tenha sido.

Resposta

a) A velocidade angular do sistema bala+porta é aproximadamente 0,4 , rad/s.
b) A energia cinética inicial era 800 , J e a final é cerca de 0,4 , J. Como muita energia foi perdida, a energia mecânica não foi conservada devido à colis��o inelástica.

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