Uma bala de massa e velocidade atinge, perpendicularmente, o centro de uma porta de massa e largura , ficando alojada. A porta, que estava em repouso, passa a abrir-se. Não há atrito nas dobradiças. Encontre:
a) A velocidade angular do sistema bala+porta.
b) As energias cinéticas iniciais e finais do sistema. Discuta a conservação de energia.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui! Temos uma bala com massa e velocidade que bate perpendicularmente no centro de uma porta com massa e largura . Depois da colisão, a bala fica presa na porta, e a porta começa a girar sem atrito nas dobradiças. A gente vai precisar usar conceitos de momentum angular e energia cinética para resolver as partes a) e b). Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Encontrar a velocidade angular do sistema bala+porta
Primeiro, vamos pensar que antes da colisão, a porta está em repouso, então só a bala está em movimento. Quando a bala bate na porta e fica presa, o sistema bala+porta começa a girar. Como não tem atrito nas dobradiças, o momentum angular é conservado.
A fórmula do momentum angular ( ) é:
Onde:
  • é a massa da bala
  • é a velocidade da bala
  • é a distância do ponto de impacto até o eixo de rotação (no caso, metade da largura da porta, )
Depois da colisão, o momentum angular total será a soma do momentum angular da bala e da porta girando juntas. A fórmula para o momentum angular de um objeto em rotação é:
Onde:
  • é o momento de inércia
  • é a velocidade angular
Vamos calcular o momento de inércia da porta, que é uma placa retangular girando em torno de um eixo na borda:
Como a bala fica presa na porta, ela também contribui para o momento de inércia:
Então, o momento de inércia total é:
Agora, pela conservação do momentum angular:
Isolando :
Vamos substituir os valores:
  • , então
Substituindo:
Calculando o denominador:
Agora:

Passo 3

Parte b: Calcular as energias cinéticas iniciais e finais e discutir a conservação de energia
Primeiro, vamos achar a energia cinética inicial. Antes da colisão, só a bala está em movimento, então a energia cinética inicial ( ) é:
Substituindo:
Agora, a energia cinética final ( ) é a energia de rotação do sistema bala+porta:
Já calculamos e .
Substituindo:
Discussão sobre a conservação de energia:
Vemos que a energia cinética inicial era de e a final é de aproximadamente . Isso mostra que muita energia foi perdida durante a colisão. Isso acontece porque a colisão foi inelástica, ou seja, a bala e a porta ficaram juntas após o impacto, e parte da energia foi dissipada em calor, som ou deformação da porta e da bala. Portanto, a energia mecânica não foi conservada, mesmo que o momentum angular tenha sido.

Resposta

a) A velocidade angular do sistema bala+porta é aproximadamente .
b) A energia cinética inicial era e a final é cerca de . Como muita energia foi perdida, a energia mecânica não foi conservada devido à colis��o inelástica.

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