Considere agora que o campo elétrico do problema anterior varia em função de
de acordo com a expressão
, onde
está em segundos. Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial (a) de
e (b) de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o campo elétrico
varia com a distância
e o tempo
segundo a expressão
. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo magnético induzido
em duas distâncias radiais diferentes: 2,00 cm e 5,00 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico
está mudando com o tempo. A expressão dada é
. Isso significa que
aumenta linearmente com o tempo
, e a variação depende da posição radial
.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético induzido
, vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético com as correntes elétricas e a variação do campo elétrico. A fórmula é:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo. Como não temos correntes elétricas livres no problema, a parte das correntes
é zero.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Isso mostra como o campo elétrico está mudando com o tempo em cada ponto radial
.
Passo 5
Agora, considerando a simetria do problema (campo radial e dependente do tempo), podemos usar a versão integrada da Lei de Ampère-Maxwell para encontrar
. A integral da Lei de Ampère-Maxwell em torno de um círculo de raio
é:
Onde
é o fluxo elétrico através da área delimitada pelo caminho de integração.
Passo 6
Calculamos o fluxo elétrico
:
Substituindo
:
Passo 7
Resolvendo as integrais:
Então,
Passo 8
Calculando a derivada do fluxo elétrico em relação ao tempo:
Passo 9
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell integrada:
Como
é simétrico e tangencial,
, então:
Passo 10
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 11
Sabemos que
, onde
é a velocidade da luz. Porém, para simplificar, podemos deixar em termos de
.
Agora, vamos substituir os valores de
e
para os casos (a) e (b).
Passo 12
Caso (a):
Substituindo na expressão de
:
Caso (b):
Substituindo na expressão de
:
Resposta
Os módulos do campo magnético induzido são:
(a) Para
:
(b) Para
:
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