cdot Considere agora que o campo elétrico do problema anterior varia em função de r de acordo com a expressão E=(0,500 V / m cdot s)(1-r / a) t, onde t está em segundos. Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial (a) de 2,00 cm e (b) de 5,00 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o campo elétrico varia com a distância e o tempo segundo a expressão . Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo magnético induzido em duas distâncias radiais diferentes: 2,00 cm e 5,00 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico está mudando com o tempo. A expressão dada é . Isso significa que aumenta linearmente com o tempo , e a variação depende da posição radial .

Passo 3

Para encontrar o campo magnético induzido nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t , vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético com as correntes elétricas e a variação do campo elétrico. A fórmula é:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo. Como não temos correntes elétricas livres no problema, a parte das correntes é zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de partial Epartial t = 0,500 (1 - ra) em relação ao tempo :
Isso mostra como o campo elétrico está mudando com o tempo em cada ponto radial .

Passo 5

Agora, considerando a simetria do problema (campo radial e dependente do tempo), podemos usar a versão integrada da Lei de Ampère-Maxwell para encontrar oint B cdot dl = mu0 epsilon0 dPhiEdt . A integral da Lei de Ampère-Maxwell em torno de um círculo de raio é:
Onde é o fluxo elétrico através da área delimitada pelo caminho de integração.

Passo 6

Calculamos o fluxo elétrico PhiE = integral E , dA = integral0^2pi integral0^r E(r', t) , r' dr' dtheta :
PhiE = 0,500 t integral0^2pi dtheta integral0^r (1 - r'a) r' dr'
Substituindo :

Passo 7

Resolvendo as integrais:
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^r (1 - r'a) r' dr' = integral0^r r' - r'^2a dr' = [r'^22 - r'^33a]0^r = r^22 - r^33a
Então,
PhiE = 0,500 t cdot 2pi (r^22 - r^33a) = 0,500 t cdot pi (r^2 - 2r^33a)

Passo 8

Calculando a derivada do fluxo elétrico em relação ao tempo:
dPhiEdt = 0,500 cdot pi (r^2 - 2r^33a)

Passo 9

Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell integrada:
oint B cdot dl = mu0 epsilon0 cdot 0,500 cdot pi (r^2 - 2r^33a)
Como B cdot 2pi r = mu0 epsilon0 cdot 0,500 cdot pi (r^2 - 2r^33a) é simétrico e tangencial, , então:

Passo 10

Resolvendo para B = mu0 epsilon0 cdot 0,500 cdot pi (r^2 - 2r^33a)2pi r = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (r - 2r^23a) :
B = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (r - 2r^23a)
Simplificando:

Passo 11

Sabemos que , onde é a velocidade da luz. Porém, para simplificar, podemos deixar em termos de .
Agora, vamos substituir os valores de e para os casos (a) e (b).

Passo 12

Caso (a): B = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (0,02 - 2 cdot (0,02)^23 cdot a)
Substituindo na expressão de B = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (0,05 - 2 cdot (0,05)^23 cdot a) :
Caso (b):
Substituindo na expressão de :

Resposta

Os módulos do campo magnético induzido são:
(a) Para B = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (0,02 - 2 cdot (0,02)^23a) :
B = mu0 epsilon0 cdot 0,5002 (0,05 - 2 cdot (0,05)^23a)
(b) Para :

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