Considere agora que o campo elétrico do problema anterior varia em função de de acordo com a expressão , onde está em segundos. Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial (a) de e (b) de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o campo elétrico varia com a distância e o tempo segundo a expressão . Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo magnético induzido em duas distâncias radiais diferentes: 2,00 cm e 5,00 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico está mudando com o tempo. A expressão dada é . Isso significa que aumenta linearmente com o tempo , e a variação depende da posição radial .

Passo 3

Para encontrar o campo magnético induzido , vamos usar a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético com as correntes elétricas e a variação do campo elétrico. A fórmula é:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo. Como não temos correntes elétricas livres no problema, a parte das correntes é zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo :
Isso mostra como o campo elétrico está mudando com o tempo em cada ponto radial .

Passo 5

Agora, considerando a simetria do problema (campo radial e dependente do tempo), podemos usar a versão integrada da Lei de Ampère-Maxwell para encontrar . A integral da Lei de Ampère-Maxwell em torno de um círculo de raio é:
Onde é o fluxo elétrico através da área delimitada pelo caminho de integração.

Passo 6

Calculamos o fluxo elétrico :
Substituindo :

Passo 7

Resolvendo as integrais:
Então,

Passo 8

Calculando a derivada do fluxo elétrico em relação ao tempo:

Passo 9

Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell integrada:
Como é simétrico e tangencial, , então:

Passo 10

Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 11

Sabemos que , onde é a velocidade da luz. Porém, para simplificar, podemos deixar em termos de .
Agora, vamos substituir os valores de e para os casos (a) e (b).

Passo 12

Caso (a):
Substituindo na expressão de :
Caso (b):
Substituindo na expressão de :

Resposta

Os módulos do campo magnético induzido são:
(a) Para :
(b) Para :

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