satisfaz a equação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função matemática envolvendo várias variáveis
e precisa verificar se ela satisfaz uma certa equação diferencial. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e ver se, ao somá-las, o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Essa função é uma função de várias variáveis, e queremos saber se ela satisfaz a seguinte equação:
Essa equação é conhecida como Equação de Laplace, e funções que a satisfazem são chamadas de funções harmônicas.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a cada variável
. Para simplificar, vamos trabalhar com uma variável genérica
, já que a função é simétrica em todas as variáveis.
Primeiro, calculemos a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Calculando a derivada dentro dos colchetes:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais:
Observando que
, podemos simplificar:
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.
22.
Calcule
onde
sent
Encontre
ou
como indicado: