satisfaz a equação

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função matemática envolvendo várias variáveis e precisa verificar se ela satisfaz uma certa equação diferencial. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e ver se, ao somá-las, o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Essa função é uma função de várias variáveis, e queremos saber se ela satisfaz a seguinte equação:
Essa equação é conhecida como Equação de Laplace, e funções que a satisfazem são chamadas de funções harmônicas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem de em relação a cada variável . Para simplificar, vamos trabalhar com uma variável genérica , já que a função é simétrica em todas as variáveis.
Primeiro, calculemos a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Calculando a derivada dentro dos colchetes:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais:
Observando que , podemos simplificar:

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace, ou seja:

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Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.
Calcule onde sent
Encontre ou como indicado: