f(x, cdots, xn)=(x1^2+cdots xn)^(2-n) / 2
satisfaz a equação
partial^2 fpartial x1^2+cdots+partial^2 fpartial xn^2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função matemática envolvendo várias variáveis e precisa verificar se ela satisfaz uma certa equação diferencial. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e ver se, ao somá-las, o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
f(x, cdots, xn) = (x1^2 + cdots + xn^2)^2 - n2
Essa função é uma função de várias variáveis, e queremos saber se ela satisfaz a seguinte equação:
partial^2 fpartial x1^2 + cdots + partial^2 fpartial xn^2 = 0
Essa equação é conhecida como Equação de Laplace, e funções que a satisfazem são chamadas de funções harmônicas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem de partial fpartial xi = 2 - n2 (x1^2 + cdots + xn^2)^2 - n2 - 1 cdot 2xi = (2 - n) (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 xi em relação a cada variável . Para simplificar, vamos trabalhar com uma variável genérica , já que a função é simétrica em todas as variáveis.
Primeiro, calculemos a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada:
partial^2 fpartial xi^2 = (2 - n) [ (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 + xi cdot partialpartial xi (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 ]
Calculando a derivada dentro dos colchetes:
partialpartial xi (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 = -n2 cdot 2xi (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 - 1 = -n xi (x1^2 + cdots + xn^2)^-n - 22
Substituindo de volta:
partial^2 fpartial xi^2 = (2 - n) (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 + (2 - n)(-n) xi^2 (x1^2 + cdots + xn^2)^-n - 22

Passo 5

Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais:
sumi=1^n partial^2 fpartial xi^2 = (2 - n) n (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 + (2 - n)(-n) (x1^2 + cdots + xn^2)^-n - 22 sumi=1^n xi^2
Observando que sumi=1^n partial^2 fpartial xi^2 = (2 - n) n (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 + (2 - n)(-n) (x1^2 + cdots + xn^2)^-n2 = 0 , podemos simplificar:

Resposta

Portanto, a função partial^2 fpartial x1^2 + cdots + partial^2 fpartial xn^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, ou seja:

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