Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função que é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e entender como aplicar isso para funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
No nosso caso, a função é de a e zero depois disso. Então, podemos reescrever a integral considerando esses intervalos.

Passo 3

Como para , a integral se simplifica para:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral . Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes , temos:

Passo 6

Calculando o primeiro termo:
E a segunda integral:

Passo 7

Juntando tudo:
Podemos simplificar mais:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
satisfaz a equação