Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
, onde
é uma função definida por partes. O exercício pede pra resolver essa equação com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, especialmente aquelas com coeficientes constantes e termos não homogêneos definidos por funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é
. Resolvendo para
:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é uma função por partes, vamos tratar cada intervalo separadamente.
Passo 6
Primeiro, para
,
. Vamos supor uma solução particular da forma
e encontrar os coeficientes
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Equacionando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 8
Agora, para
,
. Vamos supor uma solução particular constante,
. Encontramos
substituindo na equação:
Então, a solução particular para
é:
Passo 9
Agora, juntando a solução geral para cada intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Quando
:
Derivando
:
Quando
:
Passo 11
Com
e
, a solução para
fica:
Passo 12
Para garantir que a solução é contínua em
, igualamos as soluções dos dois intervalos em
:
Já que
e
, a solução é consistente.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: