Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: , onde é uma função definida por partes. O exercício pede pra resolver essa equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, especialmente aquelas com coeficientes constantes e termos não homogêneos definidos por funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é . Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa . Como é uma função por partes, vamos tratar cada intervalo separadamente.

Passo 6

Primeiro, para , . Vamos supor uma solução particular da forma e encontrar os coeficientes e .

Passo 7

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Equacionando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 8

Agora, para , . Vamos supor uma solução particular constante, . Encontramos substituindo na equação:
Então, a solução particular para é:

Passo 9

Agora, juntando a solução geral para cada intervalo:
Para :
Para :

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Quando :
Derivando :
Quando :

Passo 11

Com e , a solução para fica:

Passo 12

Para garantir que a solução é contínua em , igualamos as soluções dos dois intervalos em :
Já que e , a solução é consistente.

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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22.
Encontre ou como indicado:
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