Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: , onde é uma função definida por partes. O exercício pede pra resolver essa equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, especialmente aquelas com coeficientes constantes e termos não homogêneos definidos por funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é . Resolvendo para :
Passo 4
Como as raízes são complexas (), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa . Como é uma função por partes, vamos tratar cada intervalo separadamente.
Passo 6
Primeiro, para , . Vamos supor uma solução particular da forma e encontrar os coeficientes e .
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Equacionando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:
Passo 8
Agora, para , . Vamos supor uma solução particular constante, . Encontramos substituindo na equação:
Então, a solução particular para é:
Passo 9
Agora, juntando a solução geral para cada intervalo:
Para :
Para :
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Quando :
Derivando :
Quando :
Passo 11
Com e , a solução para fica:
Passo 12
Para garantir que a solução é contínua em , igualamos as soluções dos dois intervalos em :