Em uma célula unitária de um cristal de cloreto de sódio, cada ion de sódio é cercado por 6 íons de cloro (primeiros vizinhos) a uma distância de
ions de sódio (segundos vizinhos) à distância de 0.390 nm e outros 8 íons cloros (terceiros vizinhos) em 0.478 nm . Determine a contribuição para a energia potencial do íon de sódio da sua interação com cada um desses grupos de íons.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre cristal de cloreto de sódio (NaCl). O objetivo é determinar quanto cada grupo de íons (primeiros, segundos e terceiros vizinhos) contribui para a energia potencial de um íon de sódio devido às interações com esses grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial eletrostática entre íons e usar as distâncias e números de vizinhos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial eletrostática entre dois íons carregados é dada pela fórmula:
onde:
- $ U $ é a energia potencial,
- $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas dos íons,
- $ r $ é a distância entre os íons.
Passo 3
No NaCl, o íon de sódio ($ Na^+
Cl^-
Na^+
Cl^- $).
Passo 4
Vamos calcular a energia potencial para cada grupo de vizinhos separadamente:
Primeiros vizinhos (Cl⁻):
- Número de íons: 6
- Carga de cada íon de Cl⁻: -1
- Distância ($ r $): 0,276 nm = $ 0,276 \times 10^{-9} $ m
Segundos vizinhos (Na⁺):
- Número de íons: 12
- Carga de cada íon de Na⁺: +1
- Distância ($ r $): 0,390 nm = $ 0,390 \times 10^{-9} $ m
Terceiros vizinhos (Cl⁻):
- Número de íons: 8
- Carga de cada íon de Cl⁻: -1
- Distância ($ r $): 0,478 nm = $ 0,478 \times 10^{-9} $ m
Passo 5
Vamos calcular a energia potencial para cada interação individualmente e depois multiplicar pelo número de íons em cada grupo.
Energia potencial com um Cl⁻ (primeiro vizinho):
Energia potencial com um Na⁺ (segundo vizinho):
Energia potencial com um Cl⁻ (terceiro vizinho):
Passo 6
Agora, multiplicamos cada energia potencial individual pelo número de íons em cada grupo:
Total para primeiros vizinhos:
Total para segundos vizinhos:
Total para terceiros vizinhos:
Passo 7
Substituindo $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $, vamos calcular cada contribuição:
Primeiros vizinhos:
Segundos vizinhos:
Terceiros vizinhos:
Resposta
A contribuição para a energia potencial do íon de sódio é aproximadamente:
- Primeiros vizinhos (Cl⁻): $ -1,954 \times 10^{20} , J $
- Segundos vizinhos (Na⁺): $ 2,764 \times 10^{20} , J $
- Terceiros vizinhos (Cl⁻): $ -1,502 \times 10^{20} , J $