Em uma célula unitária de um cristal de cloreto de sódio, cada ion de sódio é cercado por 6 íons de cloro (primeiros vizinhos) a uma distância de 0,276 nm, 12 ions de sódio (segundos vizinhos) à distância de 0.390 nm e outros 8 íons cloros (terceiros vizinhos) em 0.478 nm . Determine a contribuição para a energia potencial do íon de sódio da sua interação com cada um desses grupos de íons.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre cristal de cloreto de sódio (NaCl). O objetivo é determinar quanto cada grupo de íons (primeiros, segundos e terceiros vizinhos) contribui para a energia potencial de um íon de sódio devido às interações com esses grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial eletrostática entre íons e usar as distâncias e números de vizinhos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial eletrostática entre dois íons carregados é dada pela fórmula:
U = k cdot Q1 cdot Q2r
onde:
  • $ U $ é a energia potencial,
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas dos íons,
  • $ r $ é a distância entre os íons.

Passo 3

No NaCl, o íon de sódio ($ Na^+ Na^+ í Cl^- Cl^- áéãíó Na^+ Na^+ ãí Cl^- $).

Passo 4

Vamos calcular a energia potencial para cada grupo de vizinhos separadamente:
Primeiros vizinhos (Cl⁻):
  • Número de íons: 6
  • Carga de cada íon de Cl⁻: -1
  • Distância ($ r $): 0,276 nm = $ 0,276 \times 10^{-9} $ m
Segundos vizinhos (Na⁺):
  • Número de íons: 12
  • Carga de cada íon de Na⁺: +1
  • Distância ($ r $): 0,390 nm = $ 0,390 \times 10^{-9} $ m
Terceiros vizinhos (Cl⁻):
  • Número de íons: 8
  • Carga de cada íon de Cl⁻: -1
  • Distância ($ r $): 0,478 nm = $ 0,478 \times 10^{-9} $ m

Passo 5

Vamos calcular a energia potencial para cada interação individualmente e depois multiplicar pelo número de íons em cada grupo.
Energia potencial com um Cl⁻ (primeiro vizinho):
U1 = k cdot (1) cdot (-1)0,276 times 10^-9 = -k0,276 times 10^-9
Energia potencial com um Na⁺ (segundo vizinho):
U2 = k cdot (1) cdot (1)0,390 times 10^-9 = k0,390 times 10^-9
Energia potencial com um Cl⁻ (terceiro vizinho):
U3 = k cdot (1) cdot (-1)0,478 times 10^-9 = -k0,478 times 10^-9

Passo 6

Agora, multiplicamos cada energia potencial individual pelo número de íons em cada grupo:
Total para primeiros vizinhos:
Uprimeiros = 6 cdot U1 = 6 cdot (-k0,276 times 10^-9)
Total para segundos vizinhos:
Usegundos = 12 cdot U2 = 12 cdot (k0,390 times 10^-9)
Total para terceiros vizinhos:
Uterceiros = 8 cdot U3 = 8 cdot (-k0,478 times 10^-9)

Passo 7

Substituindo $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $, vamos calcular cada contribuição:
Primeiros vizinhos:
k = 8,988 times 10^9 , N·m²/C²
Segundos vizinhos:
Uprimeiros = 6 cdot (-8,988 times 10^90,276 times 10^-9) approx -1,954 times 10^20 , J
Terceiros vizinhos:
Usegundos = 12 cdot (8,988 times 10^90,390 times 10^-9) approx 2,764 times 10^20 , J

Resposta

A contribuição para a energia potencial do íon de sódio é aproximadamente:
  • Primeiros vizinhos (Cl⁻): $ -1,954 \times 10^{20} , J $
  • Segundos vizinhos (Na⁺): $ 2,764 \times 10^{20} , J $
  • Terceiros vizinhos (Cl⁻): $ -1,502 \times 10^{20} , J $

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