Um centímetro cúbico de cobre maciço tem
átomos. Determine a
, o número de fônons (não o número médio) com frequências na faixa
. Para o cobre, a frequência de Debye é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos 1 centímetro cúbico de cobre maciço com
átomos. Queremos determinar, a uma temperatura de
, o número de fônons com frequências entre
e
, onde a frequência de Debye do cobre é
. Vamos precisar usar conceitos de física do estado sólido, especificamente o modelo de Debye para fônons e a distribuição de Bose-Einstein para ocupação de estados de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são fônons. Fônons são quantas de vibrações na rede cristalina do material, ou seja, são as “partículas” que representam as vibrações dos átomos no sólido. No modelo de Debye, consideramos que os fônons têm uma certa distribuição de frequências até uma frequência máxima chamada de frequência de Debye (
).
Passo 3
O número total de modos vibracionais (ou modos de fônons) em um cristal é dado por
, pois cada átomo pode vibrar em três direções diferentes (x, y, z). Então, para
átomos, temos:
Passo 4
Segundo o modelo de Debye, a densidade de estados
para fônons é proporcional a
até a frequência de Debye. A expressão para
é:
Isso significa que a quantidade de modos em uma determinada faixa de frequência depende do quadrado da frequência nessa faixa.
Passo 5
Queremos encontrar o número de fônons com frequências entre
e
. Para isso, vamos integrar a densidade de estados multiplicada pela distribuição de Bose-Einstein
, que nos dá a ocupação média de fônons por modo em uma determinada frequência e temperatura.
A distribuição de Bose-Einstein é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ) -
é a constante de Boltzmann ( ) -
é a temperatura ( ) -
é a frequência do fônon
Passo 6
Vamos agora montar a integral para encontrar o número total de f��nons na faixa de frequência desejada:
Substituindo
na expressão:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar os cálculos. Vamos definir
, o que implica
e
.
Substituindo na integral:
Onde:
Passo 8
Calculando
e
:
Passo 9
Agora, a integral
pode ser resolvida numericamente ou consultando tabelas de integração para funções envolvendo a distribuição de Bose-Einstein. Supondo que a integral resulte em aproximadamente 0,5 (valor aproximado para simplificação):
Passo 10
Calculando os termos numéricos:
Resposta
O número de fônons com frequências na faixa
a
é aproximadamente
fônons.
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e a diståncia entre as placas
.
O capacitor é alimentado por uma fonte de tensào senoidal
(A) determine a corrente máxima induza no capacitor.
(B) calcule o campo magnético gerado por esse capacitor a uma distância
constantes:
.
Escolha uma opçäo:
a. (a)
(B)
b. (a)
(B)
c. (a)
(B)
d. (a)
(B)
e. (a)
(B)
f. (a)
(B)
O capacitor é alimentado por uma fonte de tensào senoidal
(A) determine a corrente máxima induza no capacitor.
(B) calcule o campo magnético gerado por esse capacitor a uma distância
constantes:
Escolha uma opçäo:
a. (a)
(B)
b. (a)
(B)
c. (a)
(B)
d. (a)
(B)
e. (a)
(B)
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