Um
central. a) Calcule o tempo para uma revolução do balanço quando o cabo que suporta o assento faz um ângulo de 30,0º com a vertical. b) O ângulo depende do passageiro para uma dada taxa de revolução?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que envolve movimento circular e forças. Precisamos calcular o tempo que leva para completar uma revolução de um balanço, onde o cabo que segura o assento faz um ângulo de 30,0º com a vertical. Além disso, vamos verificar se esse ângulo muda quando adicionamos um passageiro, mantendo a mesma taxa de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O balanço está se movendo em um círculo, e o cabo forma um ângulo com a vertical. Esse ângulo nos ajuda a determinar a relação entre as forças que atuam no sistema: a força centrípeta necessária para manter o movimento circular e o peso da pessoa no assento.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de forças. As duas forças principais são:
  • Tensão no cabo (T): Atua ao longo do cabo, fazendo um ângulo de 30º com a vertical.
  • Peso §: Atua para baixo, igual a , onde é a massa da pessoa e é a aceleração da gravidade ( ²).

Passo 4

Decompomos a tensão do cabo em duas componentes:
  • Tensão vertical ( ): Equilibra o peso.
  • Tensão horizontal ( ): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 5

Podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio:
  1. Na vertical:
  2. Na horizontal: ²
Onde:
  • é a velocidade tangencial.
  • é o raio da trajetória circular.

Passo 6

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
T sinthetaT costheta = m cdot v²rm cdot g ²
Simplificando:
tantheta = v²r cdot g ²

Passo 7

Queremos encontrar o período v = 2 pi rT (tempo para uma revolução). Sabemos que:
tantheta = (2 pi rT)^2r cdot g = 4 pi² rT² g
Substituindo na equação anterior:
²²

Passo 8

Resolvendo para T² = 4 pi² rg tantheta :
T = raiz4 pi² rg tantheta ²²
²

Passo 9

Para continuar, precisamos do valor de r = L sintheta , que é a distância horizontal do ponto de sustentação ao assento. Se não for dado, podemos relacionar com o comprimento do cabo ( ) e o ângulo:

Passo 10

Substituindo T = raiz4 pi² L sinthetag tantheta na expressão do período:
T = raiz4 pi² L sintheta costhetag ²
T = 2 pi raizL sintheta costhetag ²

Passo 11

Vamos introduzir o valor de T = 2 pi raizL cdot 0,5 cdot raiz329,8 :
  • T = 2 pi raizL cdot raiz349,8
  • T = 2 pi raizL raiz339,2
Substituindo:

Resposta

O tempo para uma revolução do balanço quando o cabo faz um ângulo de 30,0º com a vertical é dado por:
T = 2 pi raizL raiz339,2
Quanto à segunda parte, o ângulo não depende do passageiro para uma dada taxa de revolução, pois o período é fixo pela expressão acima, desde que a taxa de revolução seja mantida constante.

Exercícios relacionados