central. a) Calcule o tempo para uma revolução do balanço quando o cabo que suporta o assento faz um ângulo de 30,0º com a vertical. b) O ângulo depende do passageiro para uma dada taxa de revolução?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física que envolve movimento circular e forças. Precisamos calcular o tempo que leva para completar uma revolução de um balanço, onde o cabo que segura o assento faz um ângulo de 30,0º com a vertical. Além disso, vamos verificar se esse ângulo muda quando adicionamos um passageiro, mantendo a mesma taxa de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O balanço está se movendo em um círculo, e o cabo forma um ângulo com a vertical. Esse ângulo nos ajuda a determinar a relação entre as forças que atuam no sistema: a força centrípeta necessária para manter o movimento circular e o peso da pessoa no assento.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de forças. As duas forças principais são:
Tensão no cabo (T): Atua ao longo do cabo, fazendo um ângulo de 30º com a vertical.
Peso §: Atua para baixo, igual a , onde é a massa da pessoa e é a aceleração da gravidade ().
Passo 4
Decompomos a tensão do cabo em duas componentes:
Tensão vertical (): Equilibra o peso.
Tensão horizontal (): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 5
Podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio:
Na vertical:
Na horizontal:
Onde:
é a velocidade tangencial.
é o raio da trajetória circular.
Passo 6
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
Simplificando:
Passo 7
Queremos encontrar o período (tempo para uma revolução). Sabemos que:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Resolvendo para :
Passo 9
Para continuar, precisamos do valor de , que é a distância horizontal do ponto de sustentação ao assento. Se não for dado, podemos relacionar com o comprimento do cabo () e o ângulo:
Passo 10
Substituindo na expressão do período:
Passo 11
Vamos introduzir o valor de :
Substituindo:
Resposta
O tempo para uma revolução do balanço quando o cabo faz um ângulo de 30,0º com a vertical é dado por:
Quanto à segunda parte, o ângulo não depende do passageiro para uma dada taxa de revolução, pois o período é fixo pela expressão acima, desde que a taxa de revolução seja mantida constante.