Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição Poisson com média de 8 chamadas por minuto. Calcule a probabilidade de a central:
  • a) Não receber ligações em 1 minuto.
  • b) Não receber ligações em 5 minutos.
  • c) Receber no máximo 2 chamadas em 5 minutos.
  • d) Qual o número médio de chamadas recebidas em 15 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Distribuição de Poisson. A questão fala sobre o número de chamadas que chegam em uma central telefônica, que segue uma distribuição de Poisson com média de 8 chamadas por minuto. Para resolver os itens a), b), c) e d), vamos precisar usar a fórmula da probabilidade da Distribuição de Poisson:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ \lambda $ é a média de eventos no intervalo considerado,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 2

a) Probabilidade de a central não receber ligações em 1 minuto.
Aqui, queremos calcular a probabilidade de $ k = 0 $ chamadas em 1 minuto. Sabemos que $ \lambda = 8 $ chamadas/minuto.
Aplicando a fórmula:
k = 0
Usando uma calculadora:
lambda = 8

Passo 3

b) Probabilidade de a central não receber ligações em 5 minutos.
Agora, o intervalo de tempo é de 5 minutos. Como a média é 8 chamadas por minuto, para 5 minutos:
lambda = 8 times 5 = 40
Queremos $ P(0) $:
P(0)
Calculando:
P(0) = e^-40 cdot 40^00! = e^-40
Ou seja, uma probabilidade extremamente baixa de não receber nenhuma chamada em 5 minutos.

Passo 4

c) Probabilidade de a central receber no máximo 2 chamadas em 5 minutos.
Continuando com $ \lambda = 40 $ para 5 minutos, queremos $ P(k \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de receber 0, 1 ou 2 chamadas:
lambda = 40
Calculando cada termo:
P(k <= 2)
P(k <= 2) = P(0) + P(1) + P(2)
P(0) = e^-40 cdot 40^00! = e^-40
Somando tudo:
P(1) = e^-40 cdot 40^11! = 40 cdot e^-40
Calculando:
P(2) = e^-40 cdot 40^22! = 16002 cdot e^-40 = 800 cdot e^-40
Ou seja, a probabilidade é praticamente zero.

Passo 5

d) Número médio de chamadas recebidas em 15 minutos.
A média por minuto é 8 chamadas. Então, para 15 minutos:
lambda = 8 times 15 = 120
Portanto, o número médio de chamadas em 15 minutos é 120.

Resposta

a) A probabilidade de não receber ligações em 1 minuto é aproximadamente 0,0335%.
b) A probabilidade de não receber ligações em 5 minutos é aproximadamente 4,25 × 10⁻¹⁸.
c) A probabilidade de receber no máximo 2 chamadas em 5 minutos é aproximadamente 3,58 × 10⁻¹⁵.
d) O número médio de chamadas recebidas em 15 minutos é 120.

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